Question

Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет ровно два решения : sin(x² -7x +a) · cos(x²-x-a) + 2x² - 14x + 2a = 0

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\sin\left(x^2-7x+a\right)\cdot\cos\left(x^2-x-a\right)+2x^2-14x+2a=0$

Перейдем от произведения тригонометрических функций к сумме:

$\dfrac{1}{2}\cdot\left(\sin\left(2x^2-8x\right)+\sin\left(-6x+2a\right)\right)+2x^2-14x+2a=0$

Преобразуем выражение, записанное выше:

$\sin\left(2x^2-8x\right)-\sin\left(6x-2a\right)+4x^2-28x+4a=0\\\sin\left(2x^2-8x\right)+2\left(2x^2-8x\right)=\sin\left(6x-2a\right)+2\left(6x-2a\right)$

Введем функцию $f(t)=\sin\left(t\right)+2t$. Она монотонно возрастает, так как $f'(x)=cos(x)+2>0$.

Тогда $f(2x^2-8x)=f(6x-2a),\;\;2x^2-8x=6x-2a$.

Продолжим решение:

$2x^2-8x=6x-2a\\x^2-7x+a=0$

Полученное уравнение имеет два корня, если $D>0$:

$D=49-4a>0,\;=>\;a$

Итого при $a\in\left(-\infty;\;\dfrac{49}{4}\right)$ исходное уравнение имеет ровно два различных решения.

Задание выполнено!

Answer 2

Чтобы найти все значения параметра "a", при которых уравнение имеет ровно два решения, мы должны воспользоваться дискриминантом квадратного уравнения.

Для начала, перепишем данное уравнение в более удобной форме:

$\sin(x^2 - 7x + a) \cdot \cos(x^2 - x - a) + 2x^2 - 14x + 2a = 0$

Рассмотрим квадратное уравнение вида:

$f(x) = \sin(x^2 - 7x + a) \cdot \cos(x^2 - x - a) + 2x^2 - 14x + 2a = 0$

Для того чтобы уравнение имело два решения, дискриминант этого уравнения должен быть положительным:

$D = b^2 - 4ac > 0$

где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения. В данном случае, у нас есть следующие коэффициенты:

• a = $\sin(x^2 - 7x + a) \cdot \cos(x^2 - x - a)$
• b = 2
• c = 2a

Теперь мы можем записать условие для дискриминанта:

$D = 2^2 - 4 \cdot a \cdot \left( \sin(x^2 - 7x + a) \cdot \cos(x^2 - x - a) \right) > 0$

Теперь, чтобы найти все значения параметра "a", при которых это неравенство выполняется, мы должны рассмотреть различные значения "a" и проверить, когда неравенство выполняется. Это может потребовать численных методов или графического анализа в зависимости от конкретных значений "a".