Question

Найдите x-y+z, если x^2+y^2+z^2=6x+8y+10z-50.

Answer 1

$x^{2} +y^{2} +z^{2} =6x+8y+10z-50\\\\(x^{2}-6x)+(y^{2} -8y)+(z^{2} -10z)=-50\\\\(x^{2}-6x+9)+(y^{2}-8y+16)+(z^{2}-10z+25)-9-16-25=-50\\\\(x^{2}-6x+9)+(y^{2}-8y+16)+(z^{2}-10z+25)=0\\\\(x-3)^{2}+(y-4)^{2} +(z-5)^{2} =0$

(x - 3)² ≥ 0  ;  (y - 4)² ≥ 0  ;  (z - 5)² ≥ 0

Это равенство выполняется только в случае , когда :

$\left\{\begin{array}{ccc}(x-3)^{2}=0 \\(y-4)^{2}=0 \\(z-5)^{2} =0\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{ccc}x-3=0\\y-4=0\\z-5=0\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{ccc}x=3\\y=4\\z=5\end{array}\right\\\\\\\boxed{x-y+z=3-4+5=4}$

Answer 2

Для решения этого уравнения, мы можем переписать его в следующем виде:

x^2 - 6x + y^2 - 8y + z^2 - 10z = -50

Теперь давайте завершим квадрат для x, y и z, чтобы преобразовать левую сторону уравнения:

x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 + z^2 - 10z + 25 = -50 + 9 + 16 + 25

Теперь у нас есть полные квадраты для x, y и z:

(x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 5)^2 = 0

Заметим, что квадраты всех трех скобок слева не могут быть отрицательными, и сумма квадратов равна нулю. Это возможно только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

(x - 3)^2 = 0 (y - 4)^2 = 0 (z - 5)^2 = 0

Из этого следует, что:

x - 3 = 0 y - 4 = 0 z - 5 = 0

Таким образом, x = 3, y = 4 и z = 5. Теперь мы можем найти значение x - y + z:

x - y + z = 3 - 4 + 5 = 4

Итак, x - y + z равно 4.