Question

при каких a уравнение имеет ровно 8 корней

Answer 1

Ответ:

$a\in(-8\pi,6\pi)\cup(6\pi,8\pi)$

Объяснение:

Все ненулевые решения разбиваются на пары $x, -x$. Чтобы у уравнения было 8 корней, у него должно быть ровно 4 положительных корня, и 0 не должен являться корнем. Дальше будем думать только о неотрицательных корнях.

Уравнение с косинусом легко решается:

$\cos\sqrt{a^2-x^2}=1\Leftrightarrow \sqrt{a^2-x^2}=2\pi n,\; n\in\mathbb Z$

$f(x)=\sqrt{a^2-x^2}$ — функция, которая убывает от $x = 0$ до $x = |a|$, принимая все значения от $|a|$ до 0.

Значит, чтобы условие было выполнено, в промежуток $[0, |a|)$ должны попасть ровно 4 числа вида $2\pi n$. Понятно, что в промежуток попадут 0, 2π, 4π, 6π — и не попадут 8π и т.д.

Условие этого:

$6\pi$

При этом $x=0$ не должен быть решением, поэтому $a\ne 2\pi n$, $n\in\mathbb Z$. Это удалит из решения $-8\pi$ и $8\pi$.

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело ровно 8 корней, оно должно быть кубическим (третьей степени) и иметь коэффициенты, позволяющие иметь 8 корней. Общий вид кубического уравнения:

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

Чтобы найти условия для 8 корней, вспомним, что вещественные корни могут быть как действительными, так и комплексными. Уравнение третьей степени имеет ровно 3 корня (действительных или комплексных), и каждый корень может иметь кратность (множественность). Чтобы уравнение имело 8 корней, каждый из корней должен иметь кратность 2. То есть, уравнение должно иметь два одинаковых корня.

Теперь, чтобы учесть это условие, у нас есть два варианта:

1. Уравнение имеет два действительных корня и один комплексный корень, каждый из которых имеет кратность 2.
2. Уравнение имеет три комплексных корня, каждый из которых имеет кратность 2.

Подходящие значения коэффициента a для каждого из этих вариантов могут быть разными. Нет одного конкретного значения a, которое гарантировало бы ровно 8 корней. Например, для первого варианта, a может быть любым числом, а для второго варианта a также может быть любым числом.

Таким образом, чтобы получить уравнение с ровно 8 корнями, вам нужно подобрать соответствующие значения коэффициентов b, c и d, чтобы уравнение соответствовало одному из двух вариантов, описанных выше, и затем выбрать любое подходящее значение для коэффициента a.