Question

Положительные числа x и y таковы, что x+2y=6. Найдите наибольшее возможное значение выражения xy

Answer 1

Решение сводится к нахождению вершины параболы (см.ниже).

Для начала, из уравнения

x+2y=6

выразим игрек:

y=3-0,5x

И подставим это выражение в произведение xy.

Получим такую функцию:

f(x) = xy = x(3-0,5x) = -0,5x²+3x

Эта функция показывает, как меняется значение произведения xy при изменении переменной икс (и, соответствующего ему изменения игрек, ведь они связаны указанным в задаче уравнением).

График этой функции- это парабола, ветви которой уходят вниз. А верхняя точка (максимум)- это вершина параболы.

Координату икс вершины можно вычислить как среднее арифметическое между иксами в нулях функции.

Нули функции (точки, в которых функция равна нулю) будут при:

x₁=0  и  3-0,5x = 0,  то есть при x₂=6

Среднее равно x₀=(0+6)/2=3

При этом, функция будет равна:

f(3) = -0,5*3²+3*3 = 4,5

Это и есть наше искомое максимальное значение произведения xy.

Ответ: 4,5

Answer 2

Для найбільшого можливого значення виразу xy, потрібно знайти максимальне значення добутку x і y при дотриманні обмеження x + 2y = 6.

Можна використовувати метод підстановки або метод оптимізації для розв'язання цієї задачі. Однак в даному випадку можна використовувати метод підстановки.

Спростимо рівняння x + 2y = 6 до виразу y = (6 - x)/2. Тепер підставимо цей вираз для y в вираз xy:

xy = x * [(6 - x)/2]

Тепер давайте знайдемо похідну цього виразу відносно x і прирівняємо її до нуля, щоб знайти максимум:

d(xy)/dx = [(6 - x)/2] - [x/2]

Тепер прирівняємо до нуля:

(6 - x)/2 - x/2 = 0

(6 - x - x) / 2 = 0

6 - 2x = 0

2x = 6

x = 3

Тепер, коли ми знайшли значення x, можемо знайти відповідне значення y, використовуючи початкове рівняння x + 2y = 6:

3 + 2y = 6

2y = 6 - 3

2y = 3

y = 3/2

Отже, максимальне значення виразу xy в цьому випадку досягається при x = 3 і y = 3/2:

xy = 3 * (3/2) = 9/2

Отже, наибольшее возможное значение выражения xy равно 9/2.