Question

Y=x²(1-x)⁴ найти минимум и максимум функции ответ должен быть мин(0;0) (1;0) макс (1/3;16/729)

Answer 1

Ответ .

$y=x^2(1-x)^4\\\\y'=2x(1-x)^4+x^2\cdot 4(1-x)^3\cdot (-1)=2x(1-x)^4-4x^2(1-x)^3=\\\\=2x\, (1-x)^3\cdot (1-x-2x)=2x(1-x)^3\cdot (1-3x)=2x\, (x-1)^3(3x-1)=0\\\\x_1=0\ \ ,\ \ x_2=1\ ,\ \ x=\dfrac{1}{3}\\\\znaki\ y'(x):\ \ \ ---(0)+++(\dfrac{1}{3})---(1)+++\\{}\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \searrow \, \ (0)\ \ \nearrow \ \ \ (\dfrac{1}{3})\ \ \searrow \ \ \ (1)\ \ \nearrow \\{}\qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \ (min)\ \ \ \ \ \ (max)\ \ \ \ \ \ (min)\\\\y(min)=y(0)=0\ \ \ ,\ \ \ \ \ y(min)=y(1)=0\ \ ,$

$y(max)=y\Big(\dfrac{1}{3}\Big)=\dfrac{1}{9}\cdot \Big(1-\dfrac{1}{3}\Big)^4=\dfrac{1}{9}\cdot \dfrac{16}{81}=\dfrac{16}{729}$

Answer 2

Давайте найдем минимум и максимум функции $y = x^2(1-x)^4$.

1. Для минимума, сначала найдем производную функции $y$ по $x$:

$y' = 2x(1-x)^4 - 4x^2(1-x)^3$

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю, чтобы найти критические точки:

$2x(1-x)^4 - 4x^2(1-x)^3 = 0$

3. Разложим выражение и упростим:

$2x(1-x)^3(1-x - 2x) = 0$

$2x(1-x)^3(1-3x) = 0$

Таким образом, критическими точками являются $x = 0$, $x = 1$ и $x = \frac{1}{3}$.

4. Теперь найдем соответствующие значения $y$ в этих точках:

• $y(0) = 0^2(1-0)^4 = 0$
• $y(1) = 1^2(1-1)^4 = 0$
• $y\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^2\left(1-\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{16}{729}$

Таким образом, минимум функции находится в точках (0, 0) и (1, 0), а максимум в точке $\left(\frac{1}{3}, \frac{16}{729}\right),$ и ваш ответ верен.