Question

Найти промежутки возрастания и убывания функции у=8/х

Answer 1

Рассмотрим функцию у = х3 + х2 - 8х.
Найдем точки экстремума функции, т.е. точки, в которых y’ = 0:
y’ = (х3 + х2 - 8х)’ = 3х2 + 2х - 8,
3х2 + 2х – 8 = 0;
D = 4 + 4 * 8 * 3 = 100,
х1 = (-2 + 10) / 6 = 8/6 = 4/3,
х2 = (-2 - 10) / 6 = -12/6 = -2.
Точки экстремума: -2 и 4/3.
Рассмотрим промежутки убывания / возрастания функции.
При х < -2, y’ > 0, функция возрастает.
При -2 < х < 4/3, y’ < 0, функция убывает.
При х > 4/3, y’ > 0, функция возрастает.
Таким образом, функция возрастает на промежутке: (-∞; -2] и [4/3; +∞).
Ответ: (-∞; -2] и [4/3; +∞).

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции у=8/x, мы должны проанализировать производную этой функции и определить, где она положительна (функция возрастает) и где отрицательна (функция убывает).

1. Найдем производную функции у=8/x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции: y = 8/x y' = d/dx (8/x) = -8/x^2

2. Теперь определим, когда производная положительна (функция возрастает) и когда отрицательна (функция убывает).

Для положительной производной (y' > 0): -8/x^2 > 0 Здесь у нас есть отрицательное число, деленное на положительное число (x^2 всегда положительно, так как x в знаменателе), что дает нам отрицательное число. Это означает, что производная отрицательна на всей числовой прямой, за исключением точки x=0 (так как 0 в знаменателе не определено).

Теперь рассмотрим отрицательную производную (y' < 0): -8/x^2 < 0 Здесь у нас есть отрицательное число, деленное на положительное число, что дает нам отрицательное число. Это также означает, что производная отрицательна на всей числовой прямой, за исключением точки x=0.

Итак, функция y=8/x убывает на всей числовой прямой, за исключением точки x=0, где она не определена (в этой точке есть вертикальная асимптота). Ниже приведена таблица промежутков возрастания и убывания:

- Функция убывает при x < 0. - Функция не определена при x = 0 (вертикальная асимптота). - Функция убывает при x > 0.

Таким образом, функция у=8/x убывает на всей числовой прямой, за исключением точки x=0.