Question

Решить тригонометрические неравенства1)√2-2sinx>02)√3-tgx<03)2cosx+√2≥0​

Answer 1

дуги на всех 3х рисунках тоже желательно обвести

Answer 2

1) Решение тригонометрического неравенства √2 - 2sinx > 0:

Начнем с выражения sinx в виде √1 - cos²x, так как √2 - 2sinx представляет собой выражение вида √2 - 2√1 - cos²x.

√2 - 2√1 - cos²x > 0

Упростим это выражение:

√2 - 2√1 - cos²x = √2 - 2√1 + 2cos²x

Далее, выразим √2 и 2√1 в виде sin и cos соответственно, используя тригонометрические тождества:

√2 = sin(π/4) 2√1 = 2cos(0)

√2 - 2√1 + 2cos²x = sin(π/4) - 2cos(0) + 2cos²x

Упростим:

= sin(π/4) - 2 + 2cos²x

Теперь заменим sin²x на 1 - cos²x:

= 1 - cos²(90-π/4) - 2 + 2cos²x

= - cos²(90-π/4) + 2cos²x - 1

= - cos²(180-π/4) + 2cos²x - 1

= - cos²(135°) + 2cos²x - 1

= - (1/√2)² + 2cos²x - 1

= - 1/2 + 2cos²x - 1

= - 1/2 + 2cos²x - 2/2

= 2cos²x - 3/2

Теперь неравенство примет вид:

2cos²x - 3/2 > 0

Умножим обе части неравенства на 2:

4cos²x - 3 > 0

4cos²x > 3

cos²x > 3/4

Теперь возьмем корень из обеих частей, помним, что корень из cos²x равен |cosx|:

|cosx| > √(3/4)

Так как cosx лежит в интервале от -1 до 1, то неравенство примет две формы:

cosx > √(3/4) или cosx < -√(3/4)

Помним, что √(3/4) = √3/2

A) cosx > √3/2

x принадлежит к интервалам:

(π/6, 11π/6) + 2πn, где n - целое число

B) cosx < -√3/2

x принадлежит к интервалам:

(5π/6, 7π/6) + 2πn, где n - целое число

Итак, решением исходного неравенства является объединение двух интервалов:

x принадлежит к интервалам: (π/6, 11π/6) + 2πn и (5π/6, 7π/6) + 2πn, где n - целое число.

2) Решение тригонометрического неравенства √3 - tgx < 0:

√3 - tgx < 0

Учтем, что tgx = sinx/cosx:

√3 - sinx/cosx < 0

Умножим обе части неравенства на cosx:

√3cosx - sinx < 0

Теперь можно заменить √3 и sinx в выражении:

√3cosx - sinx = cos(π/6)cosx - sin(π/3)sinx

Сократим:

(cos(π/6)cosx - sin(π/3)sinx)/cosx < 0

Делаем преобразование:

cos(π/6) - (sin(π/3)sinx)/cosx < 0

√3/2 - (1/2)sinx/cosx < 0

√3/2 - (1/2)tgx < 0

Сделаем обратное действие функции деления:

√3/2 < (1/2)tgx

√3 < tgx

Так как значения tgx варьируются от -∞ до +∞, и √3 = 1.732, неравенство можно записать как:

-∞ < tgx < 1.732

x принадлежит к интервалу:

(-π/2, π/3) + πn, где n - целое число.

3) Решение тригонометрического неравенства 2cosx + √2 ≥ 0:

2cosx + √2 ≥ 0

2cosx ≥ -√2

cosx ≥ -√2/2

Так как значения cosx варьируются от -1 до 1, то неравенство примет две формы:

A) cosx ≥ -√2/2

x принадлежит к интервалу:

[11π/6, 2π] + 2πn, где n - целое число

B) cosx ≤ -√2/2

x принадлежит к интервалу:

(-π, 7π/6] + 2πn, где n - целое число.

Итак, решением исходного неравенства является объединение двух интервалов:

x принадлежит к интервалам: [11π/6, 2π] + 2πn и (-π, 7π/6] + 2πn, где n - целое число.