Question

Найти неопределенный интеграл 2) (4x³ + 5x⁴ + 6x⁵)dx; 3) (cosx - 2)dx; 4) (3 + sinx)dx.​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int (4x^3+5x^4+6x^5)\, dx=x^4+x^5+x^6+C\\\\\\\int (cosx-2)\, dx=sinx-2x+C\\\\\\\int (3+sinx)\, dx=3x-cosx+C$

Answer 2

Ответ:

$\int\limits^._. {(4x^{3} + 5x^{4} + 6x^{5} )} \ dx =4\int\limits^._. {x^{3}} \ dx + 5\int\limits^._. {x^{4}} \ dx + 6\int\limits^._. {x^{5} } \ dx =4*\frac{x^{4} }{4} +5*\frac{x^{5} }{5} +6*\frac{x^{6} }{6} =x^{4} +x^{5} +x^{6}+C$

Объяснение:

$\int\limits^._. {(cosx - 2)} \, dx =\int\limits^._. {cosx } \, dx -2\int\limits^._. {} \, dx =sinx-2x+C$

$\int\limits^._. {(3 + sinx)} \, dx =3x-cosx+C$

Answer 3

1) Чтобы найти неопределенный интеграл от выражения 2x^3 + 5x^4 + 6x^5, мы должны применить метод интегрирования по частям.

По формуле интегрирования по частям, интеграл от произведения двух функций (u и v) равен произведению первой функции (u) и интеграла от второй функции (v), вычтенного из интеграла от произведения производной первой функции (u') и интеграла от второй функции (v).

Для данного выражения, мы выбираем u = x^3 и dv = 2x^2 + 5x^3 + 6x^4 dx. Тогда

du = 3x^2 dx и v = (2/3)x^3 + (5/4)x^4 + (6/5)x^5.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

∫(2x^3 + 5x^4 + 6x^5)dx = (x^3) * ((2/3)x^3 + (5/4)x^4 + (6/5)x^5) - ∫((2/3)x^3 + (5/4)x^4 + (6/5)x^5) * (3x^2)dx.

Раскрывая скобки и упрощая, получим:

∫(2x^3 + 5x^4 + 6x^5)dx = (2/3)x^6 + (5/4)x^5 + (6/5)x^6 - ∫(2/3)x^6 + (5/4)x^5 + (6/5)x^6 dx.

Заметим, что интегралы в правой части уравнения повторяются, но со знаком минус. Это нижеграничивается циклом, и мы можем переписать уравнение без интегралов:

∫(2x^3 + 5x^4 + 6x^5)dx = (2/3)x^6 + (5/4)x^5 + (6/5)x^6 - ∫(2/3)x^6 + (5/4)x^5 + (6/5)x^6 dx.

Теперь можно сгруппировать одинаковые слагаемые:

∫(2x^3 + 5x^4 + 6x^5)dx = (2/3)x^6 + (6/5)x^6 + (5/4)x^5 - ∫(6/5)x^6 + (5/4)x^5 dx.

Заметим, что интегралы в правой части уравнения опять повторяются, но с противоположным знаком. Мы можем переписать уравнение без интегралов:

∫(2x^3 + 5x^4 + 6x^5)dx = (2/3)x^6 + (6/5)x^6 + (5/4)x^5 - ∫(6/5)x^6 + (5/4)x^5 dx.

Продолжая этот процесс, мы получаем:

∫(2x^3 + 5x^4 + 6x^5)dx = (2/3)x^6 + (6/5)x^6 + (5/4)x^5 - (6/5) * ∫x^6 dx - (5/4) * ∫x^5 dx.

Затем мы можем вычислить эти интегралы:

∫x^6 dx = (1/7)x^7 + C, ∫x^5 dx = (1/6)x^6 + C.

Итак, окончательный ответ:

∫(2x^3 + 5x^4 + 6x^5)dx = (2/3)x^6 + (6/5)x^6 + (5/4)x^5 - (6/5) * (1/7)x^7 - (5/4) * (1/6)x^6 + C,

где C - постоянная интеграции.

2) Неопределенный интеграл ∫(cosx - 2)dx может быть решен путем прямого интегрирования.

∫cosx dx = sinx, ∫-2 dx = -2x.

Итак, окончательный ответ:

∫(cosx - 2)dx = sinx - 2x + C,

где C - постоянная интеграции.

3) Неопределенный интеграл ∫(3 + sinx)dx может быть решен путем прямого интегрирования.

∫3 dx = 3x, ∫sinx dx = -cosx.

Итак, окончательный ответ:

∫(3 + sinx)dx = 3x - cosx + C,

где C - постоянная интеграции.