Question

Решите неравенство |x|≥-x

Answer 1

1-й способ (самый длинный; обычно так решают задачи с модулями в школе).

1-й случай. x≥0⇒|x|=x; неравенство превращается в x≥-x; 2x≥0; x≥0, пересекаем с условием x≥0 и получаем ответ для неотрицательных чисел x≥0.

2-й случай. x<0⇒|x|=-x; неравенство превращается в  -x≥-x; 0≥0  верно для всех x; пересекаем с условием  x<0 и получаем ответ для отрицательных чисел x<0.

Объединяя два случая, получаем ответ: x - любой.

2-й способ. $|x|\ge x\Leftrightarrow \left [ {{x\ge -x} \atop {x\le -(-x)}} \right. \Leftrightarrow \left [ {{2x\ge 0} \atop {0\le 0}} \right.\Leftrightarrow \left [ {{x\ge 0} \atop {x\in R}} \right. \Leftrightarrow x\in R.$

3-й способ. Если x≥0, правая часть неравенства неположительна, а левая всегда неотрицательна. Поэтому для таких  x неравенство выполнено. Если x<0, правая часть положительна, а левая всегда неотрицательна,  поэтому неравенство можно возвести в квадрат:

|x|²≥(-x)²; x²≥x²; 0≥0 - верно. Поэтому все отрицательные x  также входят в ответ.

4-й  способ. Нарисуйте графики функций  y=|x| и y=-x и Вы увидите, что график первой функции не может быть ниже графика второй функции.

5-й способ. Если знать геометрическое определение модуля икс как расстояния от точки с координатой 0 до точки с координатой x, то неравенство становится очевидным.

Answer 2

Давайте разберёмся с данном неравенством: \(|x| \geq -x\).

Чтобы найти решение этого неравенства, важно понять, как работает модуль \(|x|\). Модуль числа \(x\) всегда неотрицателен, что означает, что он либо равен \(x\) (если \(x \geq 0\)) либо он равен \(-x\) (если \(x < 0\)). То есть:

\(|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \geq 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}\)

Теперь, у нас есть неравенство \(|x| \geq -x\). Это означает, что то, что находится в модуле (то есть \(|x|\)) больше или равно \(-x\).

Рассмотрим два возможных случая:

1. Если \(x \geq 0\), то \(|x| = x\). Таким образом, наше неравенство примет вид: \(x \geq -x\).

Теперь решим это неравенство: \[2x \geq 0\] \[x \geq 0\]

2. Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\). Таким образом, наше неравенство примет вид: \(-x \geq -x\). Это неравенство верно для всех \(x\), удовлетворяющих условию \(x < 0\), так как любое отрицательное число больше или равно самому себе.

Итак, после тщательного анализа обоих случаев, мы приходим к выводу, что решение исходного неравенства \(|x| \geq -x\) - это \(x \geq 0\).

Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.