Question

Знайдіть найменше значення виразу а^2 + b^2, якщо 5а - 12b = 13.​

Answer 1

Ответ:

1

Объяснение:

5a-12b=13

5a=12b+13

a=2,4b+2,6

a²+b²=(2,4b+2,6)²+b²=5,76b²+12,48b+6,76+b²=6,76b²+12,48b+6,76=

=(2,6b+2,4)²-5,76+6,76=(2,6b+2,4)²+1≥1⇒min(a²+b²)=1

Answer 2

Давайте розв'яжемо систему рівнянь, щоб знайти значення a і b, а потім підставимо їх у вираз а^2 + b^2.

Система рівнянь:

1. 5а - 12b = 13

Метод розв'язання:

Множимо обидва боки рівняння на 5, щоб позбутися коефіцієнта 5 перед "а": $25а - 60b = 65$

Тепер ми можемо об'єднати обидві рівності системи: $\begin{cases} 25а - 60b = 65 \\ 5а - 12b = 13 \end{cases}$

Використаємо метод віднімання, щоб вирішити цю систему:

$(25a - 60b) - (5a - 12b) = 65 - 13$

Розкриваємо дужки і спрощуємо вирази: $20a - 48b = 52$

Тепер ми можемо виразити a відносно b: $20a = 48b + 52$ $a = \frac{48b + 52}{20}$ $a = \frac{24b}{10} + \frac{26}{10}$ $a = \frac{12b}{5} + \frac{13}{5}$

Тепер підставимо це значення a в одне з вихідних рівнянь, наприклад, в $5а - 12b = 13$:

$5\left(\frac{12b}{5} + \frac{13}{5}\right) - 12b = 13$

Розкриваємо дужки і спрощуємо вираз: $12b + 13 - 12b = 13$

Отримали 13 = 13, що підтверджує, що система має безліч розв'язків, або що рівняння визначає лінійну залежність між a та b.

Отже, вираз $a^2 + b^2$ не має найменшого значення, оскільки можна вибрати різні значення для a та b, що відповідають умовам задачі, і відповідний вираз буде завжди рівний або більший за нуль.