Question

Исследуйте функцию у=х/х+3​

Answer 1

Ответ:

нет пересечения с осью х/ корней

Answer 2

Давайте исследуем функцию $y = \frac{x}{x+3}$.

1. Нахождение области определения: Область определения функции - множество всех допустимых значений $x$. В данном случае, знаменатель не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Таким образом, $x + 3 \neq 0$. Отсюда $x \neq -3$. Таким образом, область определения функции - все вещественные числа, кроме -3.

2. Нахождение точек пересечения с осями координат: Для $y$-интерсепта ($x = 0$):
   $y = \frac{0}{0 + 3} = 0$.

   Для $x$-интерсепта ($y = 0$): $0 = \frac{x}{x + 3}$. Решив это уравнение, получим $x = 0$. Таким образом, у функции есть точка пересечения с $x$-осью в точке (0, 0).

3. Нахождение первой производной: Давайте найдем производную функции. Используем правило дифференцирования частного: $y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x+3}\right)$

   Применим правило дифференцирования частного: $y' = \frac{(x+3) - x(1)}{(x+3)^2}$

   Упростим выражение: $y' = \frac{3}{(x+3)^2}$

4. Нахождение точек экстремума и интервалов возрастания/убывания: Теперь найдем точки, где производная равна нулю или не существует. Уравнение $y' = 0$ не имеет решений, и производная всегда положительна. Это означает, что у функции нет экстремумов, и она всегда возрастает.

5. Нахождение второй производной: Теперь найдем вторую производную: $y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{(x+3)^2}\right)$

   Применим правило дифференцирования частного: $y'' = \frac{-6}{(x+3)^3}$

6. Исследование выпуклости/вогнутости: Знак второй производной отрицателен при любых значениях $x$. Это означает, что график функции вогнут вниз для всех значений $x$.

7. Нахождение асимптот: Горизонтальная асимптота: Когда $x$ стремится к бесконечности, $y$ стремится к 0. Таким образом, $y = 0$ является горизонтальной асимптотой.

   Вертикальная асимптота: Когда $x$ стремится к -3, знаменатель становится близким к нулю, и функция становится бесконечно большой. Таким образом, $x = -3$ является вертикальной асимптотой.

Итак, исследование функции $y = \frac{x}{x+3}$ показывает, что у нее нет экстремумов, она всегда возрастает, вогнута вниз, имеет горизонтальную асимптоту $y = 0$ и вертикальную асимптоту $x = -3$.