Question

При каких значение a (a-1)x*2-2(a+3)x+2a=0имеет два различных положительных корня?​

Answer 1

Объяснение:

$(a-1)*x^2-2*(a+3)*x+2a=0\\D=(-2*(a+3))^2-4*(a-1)*2a=4*(a^2+6x+9)-8a*(a-1)=\\=4a^2+24a+36-8a^2+8a=-4a^2+24a+36=-4*(a^2-6a-9)>0\\-4*(a^2-6a-9)>0\ |:(-4)\\a^2-6a-9$

-∞__+__3-3√2__-__3+3√2__+__+∞                ⇒

Ответ: a∈(3-3√2;3+3√2).

Answer 2

Давай разберём это уравнение шаг за шагом. У нас есть уравнение \(a(a-1)x^2 - 2(a+3)x + 2a = 0\). Чтобы определить условия для того, чтобы это уравнение имело два различных положительных корня, мы можем использовать дискриминант квадратного уравнения.

Общая формула для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) имеет дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Для того, чтобы уравнение имело два различных вещественных корня, \(D\) должен быть положительным.

Заменим коэффициенты из нашего уравнения в формулу дискриминанта:

У нас есть \(a(a-1)x^2 - 2(a+3)x + 2a = 0\). Здесь \(a(a-1) = a^2 - a\) - коэффициент перед \(x^2\), \(-2(a+3) = -2a - 6\) - коэффициент перед \(x\), и \(2a\) - свободный член.

Дискриминант \(D\) будет равен:

\[D = (-2a - 6)^2 - 4(a^2 - a)(2a)\]

Разложим это уравнение и упростим:

\[D = 4a^2 + 24a + 36 - 8a^3 + 8a^2 + 8a\]

\[D = -8a^3 + 12a^2 + 32a + 36\]

Теперь, для того чтобы найти условия, при которых уравнение имеет два различных положительных корня, дискриминант должен быть положительным и квадратное уравнение должно быть факторизуемо.

Изучим, когда \(D > 0\):

\(-8a^3 + 12a^2 + 32a + 36 > 0\)

Это неравенство можно решить графически или методами анализа функций.

Простейший метод - анализ производной:

Найдём производную от \(D\) по \(a\):

\(\frac{dD}{da} = -24a^2 + 24a + 32\)

Теперь найдём точки экстремума (где производная равна нулю):

\(-24a^2 + 24a + 32 = 0\)

Это уравнение квадратное, и мы можем найти его корни:

\(a^2 - a - \frac{4}{3} = 0\)

Получаем два корня: \(a = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}\)

Используем тестовые точки для определения поведения производной и, следовательно, значения функции \(D\):

- Проверим \(a = 0\). \(\frac{dD}{da} = 32 > 0\). - Проверим \(a = 1\). \(\frac{dD}{da} = -16 < 0\). - Проверим \(a = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\). \(\frac{dD}{da} < 0\). - Проверим \(a = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}\). \(\frac{dD}{da} > 0\).

Итак, неравенство \(D > 0\) выполнится в интервалах \(a < \frac{1 - \sqrt{13}}{2}\) и \(a > \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\). Таким образом, при этих значениях \(a\) уравнение будет иметь два различных положительных корня.