Question

Доказать 3x^2+2xy+y^2+6x-2y+9≥0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Умножим и разделим обе части неравенства на 3

Преобразуем выражение слева

В числителе неотрицательное выражение

как сумма квадратов , в знаменателе

число 3>0

Дробь неотрицательна

Неравенство доказано

Answer 2

Чтобы доказать неравенство 3x^2 + 2xy + y^2 + 6x - 2y + 9 ≥ 0, мы можем использовать метод завершения квадрата.

1. Добавим и вычтем (xy) к первым трем элементам, а также добавим и вычтем (y^2 - 4y + 4) к четвертым элементам неравенства: 3x^2 + 2xy + y^2 + 6x - 2y + 9 = (3x^2 + 2xy + xy) + (y^2 - 2y + 9) + (6x + 9 - xy - y^2) - (xy - y^2 + 4y - 4)

2. Перегруппируем слагаемые: (3x^2 + 2xy + xy) + (y^2 - 2y + 9) + (6x - xy - y^2 + 9) - (xy - y^2 + 4y - 4) = (x(3x + 2y + y)) + ((y - 1)^2 + 9) + (x(6 - y) - (y - 3)^2) - (y(x - 4) - (y - 2)^2)

3. Упростим каждое слагаемое: x(3x + 2y + y) + (y - 1)^2 + 9 + x(6 - y) - (y - 3)^2 - y(x - 4) + (y - 2)^2 = x(3x + 3y) + (y - 1)^2 + (6 - y)x - (y - 3)^2 - y(x - 4) + (y - 2)^2

4. Раскроем скобки: x(3x + 3y) + (y - 1)^2 + (6 - y)x - (y - 3)^2 - y(x - 4) + (y - 2)^2 = 3x^2 + 3xy + (y - 1)^2 + 6x - xy + (6 - y)x - (y - 3)^2 - xy + 4y - y(x - 4) + (y - 2)^2

5. Упростим каждое слагаемое: 3x^2 + 3xy + (y - 1)^2 + 6x - xy + (6 - y)x - (y - 3)^2 - xy + 4y - y(x - 4) + (y - 2)^2 = 3x^2 + 3xy + y^2 - 2y + 1 + 6x - xy + 6x - y^2 + 3y - 9 - xy + 4y - xy + 4y - y^2 + 8y - 16 + y^2 - 2y + 4

6. Группируем слагаемые: 3x^2 + 3xy + y^2 - 2y + 1 + 6x - xy + 6x - y^2 + 3y - 9 - xy + 4y - xy + 4y - y^2 + 8y - 16 + y^2 - 2y + 4 = 3x^2 + y^2 + y^2 + y^2 + 6x + 6x - 2y + 4y - 2y + 3y + 4y + 8y + 1 - 9 - 16 + 4

7. Упрощаем: 3x^2 + y^2 + y^2 + y^2 + 6x + 6x - 2y + 4y - 2y + 3y + 4y + 8y + 1 - 9 - 16 + 4 = 3x^2 + 3y^2 + 12x + 15y - 20

8. Итак, неравенство преобразуется в: 3x^2 + 3y^2 + 12x + 15y - 20 ≥ 0

Теперь мы можем записать данное неравенство в виде суммы квадратов: 3x^2 + 3y^2 + 12x + 15y - 20 = 3(x + 2)^2 + 3(y + 5/3)^2 - 15 + 20

9. Упрощаем: 3(x + 2)^2 + 3(y + 5/3)^2 - 15 + 20 = 3(x + 2)^2 + 3(y + 5/3)^2 + 5

10. Таким образом, мы получаем: 3(x + 2)^2 + 3(y + 5/3)^2 + 5 ≥ 0

Что и требовалось доказать.