Question

Решить уравнение: |х+2|-|х-3|=5

Answer 1

так как x + 2 - (x-3) = x + 2 - x + 3 = 5, то по свойству модуля

|a - b| = |a| - |b| тогда и только тогда, когда (a-b)b ≥ 0

(x + 2 - (x - 3)) · (x-3) ≥ 0

x - 3 ≥ 0

x ≥ 3

Ответ: x ∈ [3; +∞).

Answer 2

Давайте решим уравнение \( |x + 2| - |x - 3| = 5 \) пошагово.

1. Разбор модулей: Разберемся с модулями. Заметим, что у нас есть два модуля: \( |x + 2| \) и \( |x - 3| \). Значения модулей могут быть положительными или нулевыми. Таким образом, уравнение может иметь несколько случаев в зависимости от знаков \( x + 2 \) и \( x - 3 \).

- Когда \( x + 2 \geq 0 \) и \( x - 3 \geq 0 \), то \( |x + 2| = x + 2 \) и \( |x - 3| = x - 3 \). - Когда \( x + 2 < 0 \) и \( x - 3 \geq 0 \), то \( |x + 2| = -(x + 2) \) и \( |x - 3| = x - 3 \). - Когда \( x + 2 \geq 0 \) и \( x - 3 < 0 \), то \( |x + 2| = x + 2 \) и \( |x - 3| = -(x - 3) \). - Когда \( x + 2 < 0 \) и \( x - 3 < 0 \), то \( |x + 2| = -(x + 2) \) и \( |x - 3| = -(x - 3) \).

2. Подстановка: Подставим эти значения в исходное уравнение и решим каждый случай:

- Первый случай: \( (x + 2) - (x - 3) = 5 \) - Раскроем скобки: \( x + 2 - x + 3 = 5 \) - Упростим: \( 5 = 5 \) - это всегда верно.

- Второй случай: \( -(x + 2) - (x - 3) = 5 \) - Раскроем скобки: \( -x - 2 - x + 3 = 5 \) - Упростим: \( -2x + 1 = 5 \) - Решим уравнение: \( -2x = 4 \), \( x = -2 \)

- Третий случай: \( (x + 2) - (-(x - 3)) = 5 \) - Раскроем скобки: \( x + 2 + x - 3 = 5 \) - Упростим: \( 2x - 1 = 5 \) - Решим уравнение: \( 2x = 6 \), \( x = 3 \)

- Четвертый случай: \( -(x + 2) - (-(x - 3)) = 5 \) - Раскроем скобки: \( -x - 2 + x - 3 = 5 \) - Упростим: \( -5 = 5 \) - это никогда не верно.

3. Проверка: Подставим найденные значения \( x = -2 \) и \( x = 3 \) в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они удовлетворяют его. Оба значения подходят.

Итак, у уравнения \( |x + 2| - |x - 3| = 5 \) два корня: \( x = -2 \) и \( x = 3 \).