Question

В треугольнике ABC AB=AC Медиана к боковой стороне делит высоту, проведенную к основанию, на отрезки, больший из которых равен 6. Найдите длину этой высоты

Answer 1

Ответ:

ΔABC : AB=AC;  AK=KB;  AH⊥CB; AM = 6

Объяснение:

Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, также является медианой :

AB=AC;  AH⊥CB;  ⇒   CH=HB,  AH - медиана

В любом треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 , считая от вершины :  

AH = AM + MH = 6 + 3 = 9

Answer 2

Пусть \(BC\) - боковая сторона треугольника \(ABC\), \(M\) - середина \(BC\), а \(h\) - высота, проведенная из вершины \(A\) к стороне \(BC\). Также, пусть \(x\) - длина отрезка высоты, который соединяет вершину \(A\) с \(M\), а \(y\) - длина оставшейся части высоты от \(M\) до основания \(BC\).

Условие \(AB = AC\) гарантирует, что треугольник \(ABC\) равнобедренный. Следовательно, медиана \(AM\) также является биссектрисой угла при вершине \(A\), а значит, делит сторону \(BC\) на две равные части. Таким образом, \(BM = MC\).

Поскольку \(M\) - середина \(BC\), \(AM\) - медиана и \(BM = MC\), то треугольник \(ABM\) является прямоугольным треугольником. Мы знаем, что \(AM = BM = MC\).

По теореме Пифагора для треугольника \(ABM\):

\[AB^2 = AM^2 + BM^2\]

\[AB^2 = AM^2 + AM^2\]

\[AB^2 = 2 \cdot AM^2\]

Отсюда находим, что

\[AM = \frac{AB}{\sqrt{2}}\]

Теперь мы знаем, что длина отрезка высоты \(x\) равна \(\frac{AB}{\sqrt{2}}\), а длина оставшейся части высоты \(y\) равна \(h - x\).

Условие, что больший из отрезков, на которые делится высота, равен 6, можно записать следующим образом:

\[h - x = 6\]

Теперь мы можем выразить \(x\) через \(AB\) и решить уравнение:

\[\frac{AB}{\sqrt{2}} = 6\]

\[AB = 6 \cdot \sqrt{2}\]

Таким образом, длина стороны \(AB\) равна \(6 \cdot \sqrt{2}\).