Question

Найти рациональные корни уравненийа)х³+2х²+х+2=0 ;б) х⁴+4х³-2х²-12х+9=0​

Answer 1

Ответ:

ответ а)5. б)13 вотттттттт

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по отдельности и найдем их рациональные корни.

Уравнение а): х³ + 2х² + х + 2 = 0

Для начала, посмотрим, есть ли у данного уравнения рациональные корни, используя рациональный корень теоремы. Согласно этой теореме, если уравнение имеет рациональный корень в виде p/q, где p - делитель свободного члена (в данном случае 2), а q - делитель коэффициента при старшей степени (в данном случае 1), то p должно быть делителем свободного члена (2), а q должен быть делителем коэффициента при старшей степени (1).

Таким образом, мы можем проверить, есть ли рациональные корни, деля свободный член (2) на делители числа 2 и проверяя, делится ли коэффициент при старшей степени (1) на делители числа 1.

Делители числа 2: ±1, ±2 Делители числа 1: ±1

Подставим эти значения в уравнение и посмотрим, равны ли они нулю:

При x = -1: (-1)³ + 2(-1)² + (-1) + 2 = -1 + 2 - 1 + 2 = 2 ≠ 0

При x = 1: 1³ + 2(1)² + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 + 2 = 6 ≠ 0

При x = -2: (-2)³ + 2(-2)² + (-2) + 2 = -8 + 8 - 2 + 2 = 0

При x = 2: 2³ + 2(2)² + 2 + 2 = 8 + 8 + 2 + 2 = 20 ≠ 0

Таким образом, мы нашли рациональный корень уравнения а): x = -2.

Теперь, чтобы найти оставшиеся корни, мы можем разделить исходное уравнение на (x + 2) и решить получившееся квадратное уравнение:

(x³ + 2x² + x + 2) / (x + 2) = x² - x + 1

Теперь решим получившееся квадратное уравнение:

x² - x + 1 = 0

Для нахождения корней квадратного уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение. Формула для решения квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0 выглядит следующим образом:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

В нашем случае, a = 1, b = -1 и c = 1. Подставим эти значения в формулу и найдем корни:

x = (1 ± √((-1)² - 4*1*1)) / (2*1) x = (1 ± √(1 - 4)) / 2 x = (1 ± √(-3)) / 2

Так как дискриминант (b² - 4ac) отрицательный (-3), у нас нет рациональных корней для данного квадратного уравнения. Поэтому рациональным корнем уравнения а) является только x = -2.

Уравнение б): х⁴ + 4х³ - 2х² - 12х + 9 = 0

Аналогично, мы можем использовать рациональный корень теоремы, чтобы проверить, есть ли рациональные корни в уравнении б).

Делители числа 9: ±1, ±3, ±9 Делители числа 1: ±1

Подставим эти значения в уравнение и посмотрим, равны ли они нулю:

При x = -1: (-1)⁴ + 4(-1)³ - 2(-1)² - 12(-1) + 9 = 1 - 4 - 2 + 12 + 9 = 16 ≠ 0

При x = 1: 1⁴ + 4(1)³ - 2(1)² - 12(1) + 9 = 1 + 4 - 2 - 12 + 9 = 0

Таким образом, мы нашли рациональный корень уравнения б): x = 1.

Теперь, чтобы найти оставшиеся корни, мы можем разделить исходное уравнение на (x - 1) и решить получившееся кубическое уравнение:

(x⁴ + 4x³ - 2x² - 12x + 9) / (x - 1) = x³ + 5x² + 3x - 9

Теперь решим получившееся кубическое уравнение:

x³ + 5x² + 3x - 9 = 0

Для решения кубического уравнения, мы можем использовать различные методы, такие как метод деления с остатком, метод Горнера или метод Кардано. Однако, для данного уравнения я не могу предоставить точное аналитическое решение.

Вместо этого, мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод бисекции, чтобы приближенно найти корни.

Например, используя метод Ньютона, мы можем начать с некоторого начального значения x₀ и итеративно применять следующую формулу:

xᵢ₊₁ = xᵢ - f(xᵢ) / f'(xᵢ)

где f(x) - наше уравнение (x³ + 5x² + 3x - 9), а f'(x) - его производная (3x² + 10x + 3).

Продолжим итерации, пока значение xᵢ₊₁ не стабилизируется в заданной точности. Это позволит нам приближенно найти корни уравнения.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.

Answer 3

Давайте решим каждое уравнение по очереди.

а) Рассмотрим уравнение \(x^3 + 2x^2 + x + 2 = 0\).

Это кубическое уравнение, и его можно попытаться решить различными методами. В данном случае, я предложу воспользоваться методом Рациональных корней (Rational Root Theorem). Согласно этому методу, все рациональные корни уравнения будут делителями свободного члена (в данном случае 2) поделёнными на делители старшего коэффициента (в данном случае 1).

Таким образом, возможные рациональные корни для этого уравнения - это все возможные делители числа 2, то есть ±1, ±2.

Подставим каждое из этих значений в уравнение и проверим, какие из них являются корнями:

1. При \(x = -1\): \((-1)^3 + 2(-1)^2 - 1 + 2 = -1 + 2 - 1 + 2 = 2 \neq 0\) 2. При \(x = 1\): \(1^3 + 2 \cdot 1^2 + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 + 2 = 6 \neq 0\) 3. При \(x = -2\): \((-2)^3 + 2(-2)^2 - 2 + 2 = -8 + 8 - 2 + 2 = 0\)

Таким образом, \(x = -2\) является рациональным корнем уравнения \(x^3 + 2x^2 + x + 2 = 0\).

б) Теперь рассмотрим уравнение \(x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 12x + 9 = 0\).

Попробуем использовать тот же метод Рациональных корней. В данном случае, возможные рациональные корни - это все возможные делители свободного члена (9) поделённые на делители старшего коэффициента (1).

Возможные рациональные корни: ±1, ±3, ±9.

Теперь подставим их и проверим, какие являются корнями:

1. При \(x = -1\): \((-1)^4 + 4(-1)^3 - 2(-1)^2 - 12(-1) + 9 = 1 - 4 - 2 + 12 + 9 = 16 \neq 0\) 2. При \(x = 1\): \(1^4 + 4 \cdot 1^3 - 2 \cdot 1^2 - 12 \cdot 1 + 9 = 1 + 4 - 2 - 12 + 9 = 0\) 3. При \(x = -3\): \((-3)^4 + 4(-3)^3 - 2(-3)^2 - 12(-3) + 9 = 81 - 108 - 18 + 36 + 9 = 0\)

Таким образом, \(x = -3\) является рациональным корнем уравнения \(x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 12x + 9 = 0\).

Итак, рациональные корни уравнений:

а) \(x = -2\)

б) \(x = -3\)