Question

Как ответить на вопрос сдесь?Петя написал на доске натуральное число A. Если его умножить на 27, то получится квадрат натурального числа. Сколько существует таких трехзначных чисел B, для которых A⋅B тоже является квадратом натурального числа? даю 20 балллов

Answer 1

27:9%=4_рұощдщоіающрұргғаіакуасуіңңңкккмңнрщ

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу более подробно.

Петя написал на доске натуральное число \(A\). Если его умножить на 27, то получится квадрат натурального числа. Математически это можно записать следующим образом:

\[27A = n^2,\]

где \(n\) - натуральное число.

Теперь нам нужно определить, сколько существует таких трехзначных чисел \(B\), для которых \(A \cdot B\) также является квадратом натурального числа.

Поскольку у нас есть умножение на 27, то \(A\) должно делиться на 27. Таким образом, мы можем представить \(A\) в виде \(A = 27k\), где \(k\) - натуральное число.

Подставим это выражение в уравнение:

\[27 \cdot 27k \cdot B = n^2.\]

Упростим выражение:

\[729k \cdot B = n^2.\]

Теперь мы видим, что \(729k \cdot B\) является квадратом натурального числа. Рассмотрим множители 729: \(3^6 \cdot k \cdot B\).

Чтобы \(729k \cdot B\) было квадратом натурального числа, каждый из множителей должен быть квадратом. Таким образом, \(k\) и \(B\) должны быть квадратами натуральных чисел.

Так как \(k\) - натуральное число, \(k = 1\) - единственный вариант, который удовлетворяет условию. Таким образом, \(A = 27 \cdot 1 = 27\).

Теперь находим все трехзначные квадраты натуральных чисел:

\[1^2 = 1, 2^2 = 4, 3^2 = 9, \ldots, 9^2 = 81.\]

Так как \(A = 27\), умножим каждый из этих квадратов на 27 и посмотрим, получится ли квадрат натурального числа:

\[27 \cdot 1 = 27, 27 \cdot 4 = 108, 27 \cdot 9 = 243, \ldots, 27 \cdot 81 = 2187.\]

Из этих результатов только \(27 \cdot 9 = 243\) является квадратом натурального числа.

Таким образом, существует только одно трехзначное число \(B\), для которого \(A \cdot B\) является квадратом натурального числа. Это число \(B = 9\).

Ответ: одно такое трехзначное число \(B = 9\).