Question

Петя написал на доске натуральное число A. Если его умножить на 12, то получится квадрат натурального числа. Сколько существует таких натуральных чисел 1000⩽B⩽2000, для которых A⋅B тоже является квадратом натурального числа?

Answer 1

Ответ:Ответ не точный, но получилось 56

Объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим условие задачи более подробно.

Петя написал на доске натуральное число A. Если его умножить на 12, то получится квадрат натурального числа. То есть у нас есть уравнение:

\[A \times 12 = k^2,\]

где \(k\) - натуральное число.

Теперь мы хотим найти, сколько существует натуральных чисел \(B\) в интервале \(1000 \leq B \leq 2000\), для которых \(A \times B\) также является квадратом натурального числа.

Давайте выразим \(A\) из уравнения \(A \times 12 = k^2\):

\[A = \frac{k^2}{12}.\]

Теперь мы хотим, чтобы \(A \times B\) также было квадратом натурального числа:

\[\frac{k^2}{12} \times B = m^2,\]

где \(m\) - натуральное число.

Умножим обе стороны на 12, чтобы избавиться от дроби:

\[k^2 \times B = 12 \times m^2.\]

Теперь мы видим, что \(k^2 \times B\) также является квадратом натурального числа, и это равенство должно выполняться для чисел \(B\) в интервале от 1000 до 2000.

Осталось найти количество таких \(B\). Для этого мы можем рассмотреть делители числа 12. Возможные значения \(B\) будут такими, что \(B\) делится на квадраты делителей 12.

Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Квадраты делителей 12: 1, 4, 9.

Таким образом, возможные значения \(B\) будут \(4 \times 1000\), \(4 \times 2000\), \(9 \times 1000\), \(9 \times 2000\). То есть, \(B\) может принимать значения 4000, 8000, 9000, 18000.

Итак, существует 4 натуральных числа \(B\) в интервале от 1000 до 2000, для которых \(A \times B\) является квадратом натурального числа.