Question

5. Знайдіть найменший цілий розв'язок нерівності (x-3)(x+3) > 5(x-2)² - 4x(x-2).​

Answer 1

Ответ:   х=3 .

$(x-3)(x+3)>5(x-2)^2-4x(x-2)\\\\x^2-9>5(x^2-4x+4)-4x^2+8x\\\\x^2-9>5x^2-20x+20-4x^2+8x\\\\x^2-9-5x^2+20x-20+4x^2-8x>0\\\\12x-29>0\ \ ,\ \ 12x>29\ \ ,\ \ x>\dfrac{29}{12}\ \ ,\ \ \ \boxed{\ x>2\dfrac{5}{12}\ }$

Наименьшее целое решение заданного неравенства  - это  х=3 .

Answer 2

Запишемо дану нерівність:

\((x-3)(x+3) > 5(x-2)^2 - 4x(x-2)\).

Розкриємо дужки:

\(x^2 - 9 > 5(x^2 - 4x + 4) - 4x^2 + 8x\).

Розпишемо додатні множники:

\(x^2 - 9 > 5x^2 - 20x + 20 - 4x^2 + 8x\).

Скоротимо подібні доданки:

\(-8x^2 - 12x + 11 > 0\).

Перенесемо все на одну сторону рівняння:

\(-8x^2 - 12x + 11 = 0\).

Тепер розв'яжемо квадратне рівняння. Використовуючи коефіцієнти \(a = -8\), \(b = -12\) і \(c = 11\), можемо використати формулу квадратного рівняння:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

Підставимо значення:

\[x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(-8)(11)}}{2(-8)}.\]

Обчислимо дискримінант:

\[D = (-12)^2 - 4(-8)(11) = 144 + 352 = 496.\]

Отримали додатній дискримінант, тому рівняння має два розв'язки:

\[x = \frac{12 + \sqrt{496}}{-16}\] та \[x = \frac{12 - \sqrt{496}}{-16}.\]

Розгортаємо підкорінний вираз:

\[x = \frac{12 + 22}{-16} = -\frac{34}{16} = -\frac{17}{8}\] та \[x = \frac{12 - 22}{-16} = -\frac{10}{-16} = \frac{5}{8}.\]

Тепер перевіримо області, які визначаються цими розв'язками. Взявши тестове значення \(x = 0\), підставимо його назад в початкове нерівняння:

\[(0-3)(0+3) > 5(0-2)^2 - 4\cdot0(0-2).\]

Отримаємо:

\[-9 > 5(4) \Rightarrow -9 > 20.\]

Це невірно. Таким чином, області, які задовольняють початкове нерівняння, розташовані поза областями, які задовольняють квадратне рівняння. Тобто, розв'язками даного нерівняння є всі значення \(x\), за винятком \(-\frac{17}{8}\) та \(\frac{5}{8}\).

Отже, найменший цілий розв'язок нерівності \((x-3)(x+3) > 5(x-2)^2 - 4x(x-2)\) - це \(-2\).