Question

Не понимаю вообще что делать , помогите… Выяснить , является ли линейным пространством данное множество функций, определённых на R , с обычными операциями сложения функций и умножения функции на число: Множество периодических функций

Answer 1

Ответ:

Не является

Объяснение:

Если множество является линейным пространством, то сумма любых его элементов также должна принадлежать этому множеству.

Рассмотрим $u=cos(x), v=cos(\pi x)$.

Очевидно, обе функции периодические [$T_u=2\pi, T_v=2$], а значит принадлежат множеству.

Рассмотрим их сумму и допустим, что она также принадлежит множеству, т.е. периодична с некоторым периодом $T$:

$cos(x)+cos(\pi x)=cos(x+T)+cos(\pi (x+T))\;\;\forall x\in R$

Но тогда это равенство верно и для $x=0$:

$cos(0)+cos(0)=cos(T)+cos(\pi T)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)\\ 2=\underbrace{cos(T)}_{\leq 1}+\underbrace{cos(\pi T)}_{\leq 1}$

$\left\{\begin{array}{c}cosT=1\\cos\pi T=1\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}T=2\pi k\\T=2 n\end{array}\right.$

Т.е. $\exists k,n\in Z: \pi=\dfrac{n}{k}$ , т.е. число $\pi$ рационально - что неверно.

Значит, $(1)$ не имеет решений, и сумма $u+v$ непериодична, т.е. не принадлежит рассматриваемому множеству.

Значит, рассматриваемое множество не является линейным пространством

Answer 2

Для того чтобы определить, является ли множество периодических функций линейным пространством относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число, нужно проверить выполнение следующих условий для любых функций \( f(x) \) и \( g(x) \) из этого множества и любых чисел \( a \) и \( b \):

1. Замкнутость относительно сложения: \[ f(x) + g(x) \]

2. Замкнутость относительно умножения на число: \[ a \cdot f(x) \]

3. Ассоциативность сложения: \[ (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) \]

4. Коммутативность сложения: \[ f(x) + g(x) = g(x) + f(x) \]

5. Существование нулевого элемента относительно сложения: Существует такая функция \( 0(x) \), что \( f(x) + 0(x) = f(x) \) для любой функции \( f(x) \).

6. Существование обратного элемента относительно сложения: Для каждой функции \( f(x) \) существует функция \( -f(x) \) такая, что \( f(x) + (-f(x)) = 0(x) \).

7. Дистрибутивность умножения на число относительно сложения функций: \[ a \cdot (f(x) + g(x)) = a \cdot f(x) + a \cdot g(x) \]

8. Дистрибутивность умножения на число относительно сложения чисел: \[ (a + b) \cdot f(x) = a \cdot f(x) + b \cdot f(x) \]

Если все эти условия выполняются для множества периодических функций, то оно является линейным пространством относительно указанных операций.