Question

Найдите неопределенный интеграл 3/cos^2 (2x+1)dx=

Answer 1

Ответ:

Ответ приведен на фото.

Answer 2

Для решения данного неопределенного интеграла, мы можем воспользоваться методом замены переменной и формулой для интеграла от производной обратной функции.

Давайте рассмотрим подробный процесс решения:

1. Первым шагом заменим переменную: Положим u = 2x + 1. Тогда dx = du/2.

2. Заменим переменные в исходном интеграле: Заменяем x на (u - 1)/2 и dx на du/2.

Получаем новый интеграл: ∫ 3/cos^2(u) * (1/2) du

3. Упростим выражение: Мы можем упростить выражение, заменив cos^2(u) на 1 - sin^2(u) с использованием тригонометрической тождества. Получаем: ∫ 3/(1 - sin^2(u)) * (1/2) du

4. Продолжим упрощение: Мы можем раскрыть скобку и привести подобные слагаемые. Получаем: ∫ 6/(2 - 2sin^2(u)) du

5. Используем тригонометрическую формулу: Мы можем заменить sin^2(u) на (1 - cos(2u))/2, используя тригонометрическую формулу. Получаем: ∫ 6/(2 - 2(1 - cos(2u))/2) du

6. Упрощаем выражение: Мы можем упростить числитель и знаменатель. Знаменатель станет 2 - (1 - cos(2u)), что равно cos(2u) + 1. Получаем: ∫ 6/(cos(2u) + 1) du

7. Замена переменной обратной функции: Положим v = 2u. Тогда du = dv/2. Заменим переменные в интеграле: Заменяем u на v/2 и du на dv/2.

Получаем новый интеграл: (1/2) * ∫ 6/(cos(v) + 1) dv

8. Решение нового интеграла: Мы можем найти интеграл от 6/(cos(v) + 1) с использованием формулы для интеграла тангенса. Интеграл от tan(v/2) равен -2ln|cos(v/2)|.

Получаем окончательный результат: (1/2) * (-2ln|cos(v/2)|) + C

9. Возвращаемся к исходной переменной: Подставляем обратную замену переменных u = 2x + 1.

Окончательный ответ: (1/2) * (-2ln|cos((2(2x + 1))/2)|) + C

Упростим это выражение:

-ln|cos(2x + 1)| + C

Таким образом, неопределенный интеграл ∫ 3/cos^2(2x + 1) dx равен -ln|cos(2x + 1)| + C, где C - произвольная постоянная.