Question

Сумма всех биномиальных коэффициентов в (a+b)^n равна 1024. Найдите n.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

2^n=1024

n=$\sqrt[10]{1024} }$

n=10

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона:

(a + b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n)*a^0*b^n,

где C(n,k) - биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n-k)!).

Заметим, что сумма всех биномиальных коэффициентов равна сумме всех членов разложения (a + b)^n:

C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n).

Подставим данное равенство в условие задачи:

C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n) = 1024.

Теперь рассмотрим свойство биномиальных коэффициентов:

C(n,0) = 1, C(n,1) = n, C(n,2) = n * (n - 1) / 2, C(n,3) = n * (n - 1) * (n - 2) / 6, ...

Обратим внимание, что все биномиальные коэффициенты, начиная с C(n,2), являются положительными числами, а C(n,1) = n > 1. Таким образом, сумма всех биномиальных коэффициентов больше 1 + n.

Отсюда следует, что для решения задачи значение n должно быть меньше 1023.

Теперь переберем значения n от 1 до 1022 и найдем такое n, при котором сумма всех биномиальных коэффициентов равна 1024.

Проверим:

n = 1: C(1,0) + C(1,1) = 1 + 1 = 2 (не равно 1024) n = 2: C(2,0) + C(2,1) + C(2,2) = 1 + 2 + 1 = 4 (не равно 1024) ... n = 10: C(10,0) + C(10,1) + ... + C(10,10) = 1 + 10 + ... + 10 + 1 = 1024.

Таким образом, значение n равно 10.