Question

Решить возвратное уравнение: х4 – 2х3 – 22х2 – 2х +1=0;

Answer 1

$\displaystyle\bf\\x^{4} -2x^{3} -22x^{2} -2x+1=0 \ | \ :x^{2} \\\\x^{2} -2x-22-\frac{2}{x} +\frac{1}{x^{2} } =0\\\\\Big(x^{2}+\frac{1}{x^{2} } \Big)-2 \Big(x+\frac{1}{x} \Big)-22=0\\\\x+\frac{1}{x} =m \ \ \Rightarrow \ \ x^{2} +\frac{1}{x^{2} } =m^{2} -2\\\\m^{2} -2-2m-22=0\\\\m^{2} -2m-24=0\\\\Teorema \ Vieta:\\\\m_{1} =-4 \ ; \ m_{2} =6$

$\displaystyle\bf\\1)\\\\x+\frac{1}{x} =-4\\\\x^{2} +4x+1=0 \ ; \ x\neq 0\\\\D=4^{2} -4\cdot 1=16-4=12=(2\sqrt{3} )^{2} \\\\x_{1} =\frac{-4-2\sqrt{3} }{2} =-2-\sqrt{3} \\\\x_{2} =\frac{-4+2\sqrt{3} }{2}=\sqrt{3} -2\\\\2)\\\\x+\frac{1}{x}=6 \\\\x^{2} -6x+1=0\\\\D=(-6)^{2} -4\cdot1=36-4=32=(4\sqrt{2} )^{2} \\\\x_{3} =\frac{6-4\sqrt{2} }{2} =3-2\sqrt{2}\\\\x_{4}=\frac{6+4\sqrt{2} }{2} =3+2\sqrt{2}$

Answer 2

Для решения данного возвратного уравнения, мы должны найти все значения x, которые удовлетворяют данному уравнению.

1. Начнем с применения рационального корня теоремы, чтобы проверить, существуют ли рациональные корни у нашего уравнения. * В данном случае, коэффициенты a0 = 1 и a4 = 1, поэтому все рациональные корни должны быть вида x = ±1, где числитель делит a0, а знаменатель делит a4. * Проверим, являются ли значения x = ±1 рациональными корнями уравнения, подставив их в уравнение и проверив, равно ли уравнение нулю:

* Для x = 1: 1^4 - 2 * 1^3 - 22 * 1^2 - 2 * 1 + 1 = 1 - 2 - 22 - 2 + 1 = -24 <> 0

* Для x = -1: (-1)^4 - 2 * (-1)^3 - 22 * (-1)^2 - 2 * (-1) + 1 = 1 + 2 - 22 + 2 + 1 = -16 <> 0

* Таким образом, нет рациональных корней у данного уравнения.

2. Применим теорему Безу, чтобы узнать, существуют ли целые корни у данного уравнения. * В теореме Безу говорится, что если целое число a делит число b, то оно также делит и число f(b), где f(b) - это функция, которая получается из многочлена при подстановке вместо x значения b. * В данном случае, у нас уже было обнаружено, что нет рациональных корней для уравнения, поэтому нам необходимо рассмотреть другую стратегию для поиска целых корней.

3. Однако, мы можем уменьшить множество возможных корней, выяснив, существуют ли корни с определенными ограничениями. * Из графика уравнения можно заметить, что все корни должны быть отрицательными, так как уравнение положително на интервале (-∞, 0). Данные наблюдения намекают на существование отрицательных корней уравнения.

4. Мы можем использовать метод подстановки, чтобы проверить возможные значения отрицательных корней. * Мы можем предположить, что x = -1, и проверить, если ли x = -1 как корень у уравнения. * Подставим x = -1 в уравнение: (-1)^4 - 2 * (-1)^3 - 22 * (-1)^2 - 2 * (-1) + 1 = 1 + 2 - 22 + 2 + 1 = -16 <> 0 * Заметим, что данное значение не удовлетворяет уравнению. * Мы можем продолжить подстановку других значения x и продолжать проверять, пока мы не найдем корень, который удовлетворяет данному уравнению.

Итак, нашим результатом является отсутствие рациональных корней и необходимостью использования других методов для нахождения решений данного уравнения.