Question

Определите множество значений функции посредством введения параметра

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$\displaystyle\\f(x)=\frac{2x+3}{(x+2)^2}$

ищем все значения а, при которых уравнение

$\displaystyle\\\frac{2x+3}{(x+2)^2} =a$

имеет решения

$\displaystyle\\2x+3=a(x^2+4x+4)\\\\2x+3=ax^2+4ax+4a\\\\ax^2+x(4a-2)+4a-3=0$

если а=0 уравнение имеет решение х=-1,5

если а≠0 уравнение является квадратным

чтобы оно имело корни, дискриминант должен

быть неотрицательным

$\displaystyle\\D=(4a-2)^2-4a(4a-3)=16a^2-16a+4-16a^2+12a=\\\\=-4a+4\geq 0\\\\4a\leq 4\\\\a\leq 1$

Мы нашли множество значений   $\displaystyle\\E(f)=(-\infty; 1]$

Answer 2

Для того, чтобы определить множество значений функции посредством введения параметра, нужно выполнить следующие шаги:

- Выразить одну из переменных через другую и произвольный параметр. Например, если функция задана уравнением x^2 + y^2 = 1, то можно выразить y через x и параметр t: y = tx - sqrt(1 - t^2 x^2). - Подставить выражение для переменной в функцию и получить функцию от параметра. Например, если функция задана формулой f(x, y) = x + y, то подставив y = tx - sqrt(1 - t^2 x^2), получим f(t, x) = x + tx - sqrt(1 - t^2 x^2). - Найти область определения функции от параметра. Для этого нужно решить неравенства, вытекающие из условий существования функции. Например, для функции f(t, x) = x + tx - sqrt(1 - t^2 x^2) нужно решить неравенство 1 - t^2 x^2 >= 0, откуда получаем |t| <= 1/|x|. - Найти максимальное и минимальное значение функции от параметра на области определения. Для этого можно использовать производную или графический метод. Например, для функции f(t, x) = x + tx - sqrt(1 - t^2 x^2) можно найти производную по t и приравнять ее к нулю: f'(t, x) = x - 2t x sqrt(1 - t^2 x^2) = 0, откуда t = 1/(2x) или t = -1/(2x). Подставив эти значения в функцию, получим максимум f(1/(2x), x) = x/2 + sqrt(1 - x^2/4) и минимум f(-1/(2x), x) = x/2 - sqrt(1 - x^2/4). - Записать множество значений функции как интервал от минимального до максимального значения. Например, для функции f(x, y) = x + y, заданной уравнением x^2 + y^2 = 1, множество значений будет [x/2 - sqrt(1 - x^2/4), x/2 + sqrt(1 - x^2/4)].

Для более подробного объяснения этого метода вы можете посмотреть статью [Как найти множество значений функции](https://ru.wikihow.com/%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D1%82%D0%B8-%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8) или видео [Множество значений функции. Метод введения параметра].