Question

При каком наибольшем натуральном n многочлен f(x)=x^n+…−100 степени n с целыми коэффициентами может иметь ровно n различных целочисленных корней?

Answer 1

Ответ:

6 корней: 1, -1, 2, -2, 5, -5

Объяснение:

По обобщенной теореме Виета произведение корней равно свободному члену:

x1*x2*...*xn = -100 = 1(-1)*2*2*5*5 = 1(-1)*2(-2)*5(-5)

Получается 6 корней.

Answer 2

Давайте рассмотрим многочлен \(f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_1x + a_0\) степени \(n\) с целыми коэффициентами. У нас есть \(n\) целочисленных корней. Пусть эти корни будут \(k_1, k_2, \ldots, k_n\).

Так как многочлен \(f(x)\) имеет целые коэффициенты, если \(k_i\) является корнем, то \((x - k_i)\) является множителем \(f(x)\) с целыми коэффициентами. Следовательно, можно записать многочлен \(f(x)\) в виде произведения этих множителей:

\[f(x) = (x - k_1)(x - k_2) \ldots (x - k_n)\]

Когда мы умножаем эти множители, чтобы получить многочлен \(f(x)\), мы получаем \(n\) слагаемых, включая \(x^n\) и константу. Таким образом, сумма корней \(k_1 + k_2 + \ldots + k_n\) равна коэффициенту перед \(x^{n-1}\), который в нашем случае равен нулю (так как коэффициент перед \(x^{n-1}\) равен нулю). Это означает, что сумма всех корней равна нулю.

Теперь предположим, что все корни \(k_i\) различны. Сумма \(n\) различных целочисленных чисел равна нулю только тогда, когда они включают положительные и отрицательные числа таким образом, чтобы их абсолютные значения были одинаковыми и сумма равна нулю. Например: \((-1) + 1 = 0\), \((-2) + (-1) + 1 + 2 = 0\) и так далее.

Это означает, что для того, чтобы сумма целочисленных корней многочлена равнялась нулю, каждый положительный корень должен иметь отрицательный корень с таким же абсолютным значением. Таким образом, количество корней должно быть четным, ибо каждому положительному корню соответствует отрицательный корень.

Теперь, когда у нас есть четное количество корней, чтобы получить максимальное значение \(n\), мы должны рассматривать пары корней, чтобы каждая пара давала \(x^2\) в произведении. Чтобы получить наибольшее \(n\), мы должны иметь как можно больше таких пар.

Таким образом, наибольшее натуральное число \(n\), для которого многочлен \(f(x) = x^n + \ldots - 100\) степени \(n\) с целыми коэффициентами, может иметь ровно \(n\) различных целочисленных корней, будет \(n = 2 \times \frac{n}{2} = n\) (где \(n\) делится на 2). Это означает, что наибольшее возможное \(n\) будет четным числом.

Таким образом, наибольшее натуральное \(n\), при котором многочлен \(f(x) = x^n + \ldots - 100\) степени \(n\) с целыми коэффициентами, может иметь ровно \(n\) различных целочисленных корней, будет равно \(n = \boxed{2}\).