Question

Решите уравнение:1) 4^x-1 -3*2^x-2 = 10;2) 6^x +6^x-1 -6^x-2 = 7^x -8*7^x-2;

Answer 1

1)

$4^{x-1}-3\cdot2^{x-2}=10\\\\{(2^2)}^{x-1}-3\cdot2^x\cdot2^{-2}=10\\\\2^{2x-2}-3\cdot2^x\cdot2^{-2}=10\\\\2^{2x}\cdot2^{-2}-3\cdot2^x\cdot2^{-2}=10\\\\2^{-2}\Big(2^{2x}-3\cdot2^x\Big)=10\\\\(2^x)^2-3\cdot2^x=10:\dfrac14\\\\(2^x)^2-3\cdot2^x-40=0$

Сделаем замену

$2^x=y$

$y^2-3y-40=0$

$\boxed{D = b^2-4ac}\\\\D=(-3)^2-4(-40)=169$

169 > 0  =>  2 корня

$\sqrt{169}=13\\\\\begin{array}{lcl}y_1=\dfrac{3-13}2=-5\\\\y_2=\dfrac{3+13}2=8\end{array} \qquad\qquad\boxed{y=\dfrac{-b\underline+\sqrt{D}}{2a}}$

Следовательно,

$2^x=-5$ , чего быть не может (функция $a^x$ не отрицательна)

$2^x=8\\2^x=2^3\\x=3$

Ответ:  x = 3

2)

$6^x+6^{x-1}-6^{x-2}=7^x-8\cdot7^{x-2}\\\\6^x+6^x\cdot6^{-1}-6^x\cdot6^{-2}=7^x-8\cdot7^x\cdot7^{-2}\\\\6^x\bigg(1+\dfrac16-\dfrac1{36}\bigg)=7^x\bigg(1-8\cdot\dfrac1{49}\bigg)\\\\6^x\bigg(\dfrac{36+6-1}{36}\bigg)=7^x\bigg(\dfrac{49-8}{49}\bigg)\\\\\dfrac{41}{36}:\dfrac{41}{49}=\dfrac{7^x}{6^x}\\\\\dfrac{41}{36}\cdot\dfrac{49}{41}=\bigg(\dfrac76\bigg)^x\\\\\bigg(\dfrac76\bigg)^x=\dfrac{49}{36}\\\\\bigg(\dfrac76\bigg)^x=\dfrac{7^2}{6^2}\\\\\bigg(\dfrac76\bigg)^x=\bigg(\dfrac76\bigg)^2\\\\x=2$

Ответ:  x = 2

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по очереди.

1) Уравнение: 4^x - 1 - 3*2^(x-2) = 10

Сначала упростим уравнение. Заметим, что 4 = 2^2, поэтому мы можем переписать 4^x как (2^2)^x, что равно 2^(2x). Также, 2^(x-2) можно переписать как (2^x)/(2^2) = (2^x)/4. Теперь уравнение выглядит следующим образом:

2^(2x) - 1 - 3*(2^x)/4 = 10

Умножим обе стороны уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

4*(2^(2x)) - 4 - 3*(2^x) = 40

Теперь у нас есть уравнение без дробей:

4*(2^(2x)) - 4 - 3*(2^x) - 40 = 0

Теперь давайте введем замену, чтобы упростить это уравнение. Обозначим z = 2^x. Тогда у нас будет:

4*(z^2) - 4 - 3*z - 40 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно z:

4z^2 - 3z - 44 = 0

Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать квадратное уравнение:

z = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

где a = 4, b = -3, и c = -44. Подставляем эти значения:

z = (-(-3) ± √((-3)² - 4*4*(-44))) / (2*4)

z = (3 ± √(9 + 704)) / 8

z = (3 ± √713) / 8

Теперь у нас есть два возможных значения для z:

1) z₁ = (3 + √713) / 8 2) z₂ = (3 - √713) / 8

Теперь мы должны вернуться к исходной переменной x. Для этого вспомним, что z = 2^x. Теперь мы можем решить уравнения относительно x:

1) 2^x₁ = (3 + √713) / 8 2) 2^x₂ = (3 - √713) / 8

Для этого возьмем логарифм от обеих сторон:

1) x₁ = log₂((3 + √713) / 8) 2) x₂ = log₂((3 - √713) / 8)

Таким образом, у нас есть два значения x:

1) x₁ ≈ 1.511 2) x₂ ≈ -3.787

2) Уравнение: 6^x + 6^(x-1) - 6^(x-2) = 7^x - 8*7^(x-2)

Сначала упростим уравнение. Заметим, что 6 = 2*3 и 7 = 2 + 5, поэтому мы можем переписать уравнение следующим образом:

(2*3)^x + (2*3)^(x-1) - (2*3)^(x-2) = (2+5)^x - 8*(2+5)^(x-2)

Теперь можно сделать замену y = (2*3)^x:

y + (1/2)*y - (1/6)*y = (2+5)^x - 8*(2+5)^(x-2)

Умножим обе стороны на 6, чтобы избавиться от дробей:

6y + 3y - y = 6*(2+5)^x - 48*(2+5)^(x-2)

Теперь у нас есть уравнение без дробей:

8y = 6*(2+5)^x - 48*(2+5)^(x-2)

Давайте рассмотрим правую сторону уравнения. Мы видим, что (2+5)^x = 7^x и (2+5)^(x-2) = 7^(x-2). Теперь мы можем записать уравнение следующим образом:

8y = 6*7^x - 48*7^(x-2)

Теперь мы можем сделать замену z = 7^x:

8y = 6z - 48*(z/49)

Умножим обе стороны на 49, чтобы избавиться от дробей:

392y = 294z - 48z

Теперь у нас есть уравнение без дробей:

392y = 246z

Теперь мы можем выразить z:

z = (392y) / 246

Теперь, вернемся к исходной переменной x, используя z = 7^x:

7^x = (392y) / 246

Возьмем логарифм от обеих сторон:

x*log(7) = log((392y) / 246)

Теперь можно выразить x:

x = log((392y) / 246) / log(7)

Таким образом, x зависит от значения y, которое выражается через x. Это нелинейное уравнение, и его решение может быть найдено численными методами или графическим способом.