Question

Довести нерівність (b-5)^2 > -20b-3

Answer 1

Ответ:

Объяснение:............

Answer 2

Давайте посмотрим, как решить данную квадратную неравенство и найти значения переменной \( b \), которые удовлетворяют условию.

Имеем неравенство: \((b - 5)^2 > -20b - 3\).

1. Раскроем квадрат в левой части неравенства: \((b - 5)^2 = b^2 - 10b + 25\).

2. Подставим это обратно в исходное неравенство: \[b^2 - 10b + 25 > -20b - 3\].

3. Переносим все члены неравенства в одну сторону: \[b^2 + 10b + 25 + 20b + 3 > 0\].

4. Сложим подобные члены: \[b^2 + 30b + 28 > 0\].

5. Теперь решим это квадратное неравенство. Для этого найдем корни квадратного уравнения, которое получается при замене знака неравенства на равенство: \[b^2 + 30b + 28 = 0\].

Мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение или метод факторизации. Давайте воспользуемся квадратным уравнением:

\[b = \frac{-30 \pm \sqrt{30^2 - 4 \cdot 28}}{2}.\]

Посчитаем подкоренное выражение: \[D = 30^2 - 4 \cdot 28 = 900 - 112 = 788.\]

Так как \(D > 0\), у уравнения есть два различных корня:

\[b_1 = \frac{-30 + \sqrt{788}}{2}, \quad b_2 = \frac{-30 - \sqrt{788}}{2}.\]

Эти значения дают нам две точки разрыва нашего неравенства.

6. Теперь определим знак выражения \(b^2 + 30b + 28\) в интервалах между корнями и за пределами этих корней.

1. Рассмотрим интервал \((-\infty, b_2)\). Выберем точку в этом интервале, например, \(b = -31\): \[(-31)^2 + 30(-31) + 28 = 961 - 930 + 28 > 0.\]

2. Рассмотрим интервал \((b_2, b_1)\). Выберем точку в этом интервале, например, \(b = -15\): \[(-15)^2 + 30(-15) + 28 = 225 - 450 + 28 < 0.\]

3. Рассмотрим интервал \((b_1, +\infty)\). Выберем точку в этом интервале, например, \(b = -29\): \[(-29)^2 + 30(-29) + 28 = 841 - 870 + 28 > 0.\]

7. Итак, у нас есть три интервала, на которых знак выражения меняется: \((-\infty, b_2)\), \((b_2, b_1)\), и \((b_1, +\infty)\). Знак выражения меняется при \(b = b_2\) и \(b = b_1\).

8. Теперь соберем все вместе: \[(b - 5)^2 > -20b - 3 \quad \text{при} \quad b \in (-\infty, b_2) \cup (b_1, +\infty).\]

Таким образом, решением данного неравенства является множество всех значений \(b\), принадлежащих объединению интервалов \((- \infty, b_2)\) и \((b_1, +\infty)\).