Question

Розв'яжіть нерівність (x-1)(x-2)(x-3)≤0

Answer 1

Находим нули функции

$(x-1)(x-2)(x-3)\leq 0\\{}\quad\;1\qquad\;\;2\qquad\;\;3$

Отмечаем точки на координатной прямой

Неравенство нестрогое – точки закрашены

См. приложение

Ответ:  $x\in(-\infty;\;1]\cup[2;\;3]$

Answer 2

Щоб розв'язати дану нерівність, потрібно знайти значення x, для яких вираз (x-1)(x-2)(x-3) буде менше або дорівнює нулю.

1. Знайдемо точки, де вираз (x-1)(x-2)(x-3) дорівнює нулю: (x-1)(x-2)(x-3) = 0 Тут ми маємо добуток трьох множників, тому вираз дорівнює нулю, якщо х хоча б однаковий один з множників дорівнює нулю.

x - 1 = 0 x = 1

x - 2 = 0 x = 2

x - 3 = 0 x = 3

Таким чином, точки, де вираз (x-1)(x-2)(x-3) дорівнює нулю, це x = 1, x = 2, x = 3.

2. Розглянемо інтервали між цими точками та за їхніми межами:

a) x < 1: Якщо x менше 1, то (x-1) буде від'ємним, (x-2) буде від'ємним, і (x-3) також буде від'ємним для будь-якого x менше 1. Тобто добуток від'ємного і від'ємного чисел є додатнім: (x-1)(x-2)(x-3) < 0

b) 1 < x < 2: Тут (x-1) буде додатним, (x-2) буде від'ємним, і (x-3) буде також від'ємним. Таким чином, маємо: (x-1)(x-2)(x-3) > 0

c) 2 < x < 3: Тут (x-1) буде додатним, (x-2) буде додатним, і (x-3) буде від'ємним. Отже, (x-1)(x-2)(x-3) < 0

d) x > 3: Якщо x більше 3, то (x-1), (x-2) і (x-3) будуть додатніми. Тому: (x-1)(x-2)(x-3) > 0

Таким чином, розв'язок нерівності (x-1)(x-2)(x-3) ≤ 0 є об'єднанням інтервалів a) та c), тобто x ≤ 1 або 2 < x < 3.