Question

Y=x^2 y=-x^2 y=1 найти площадь фигуры

Answer 1

Ответ:

Задать вопрос

Войти



Аноним

Математика

26 сентября 18:23

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=1-x^2, y=-x-1

Ответ или решение1



Уварова Ксения

1. Найдем точки пересечения графиков функций:

у = 1 - х2;

у = - x - 1.

1 - х2 = - x - 1;

1 - х2 + x + 1 = 0;

-x2 + x + 2 = 0;

x2 - x - 2 = 0;

(x – 2) (x + 1) = 0;

х1 = 2;

х2 = -1.

Получим пределы интегрирования: [-1;

2. Площадь фигуры вычислим по формуле:

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, описанной уравнениями Y=x^2, y=-x^2, и y=1, мы можем использовать метод геометрического анализа.

Нахождение точек пересечения

Для начала, найдем точки пересечения этих кривых. Для этого приравняем уравнения друг к другу и решим полученное уравнение:

x^2 = -x^2 + 1

Суммируя x^2 с обеих сторон, получаем:

2x^2 = 1

Разделим обе стороны на 2:

x^2 = 1/2

Извлекая квадратный корень, получаем:

x = ±√(1/2)

Таким образом, точки пересечения на оси x равны x = √(1/2) и x = -√(1/2).

Нахождение площади фигуры

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, мы можем использовать метод интегрирования. Поскольку фигура симметрична относительно оси y, мы можем найти площадь только для положительных значений x и умножить ее на 2.

Интеграл для нахождения площади фигуры будет выглядеть следующим образом:

S = 2 * ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где f(x) и g(x) - это уравнения кривых, ограничивающих фигуру, а a и b - это значения x для точек пересечения.

В нашем случае, уравнения кривых f(x) и g(x) равны f(x) = x^2 и g(x) = -x^2 + 1 соответственно. Точки пересечения a и b равны a = -√(1/2) и b = √(1/2).

Подставляя значения в интеграл, получаем:

S = 2 * ∫[-√(1/2), √(1/2)] (x^2 - (-x^2 + 1)) dx

Выполняя вычисления, получаем:

S = 2 * ∫[-√(1/2), √(1/2)] (2x^2 - 1) dx

S = 2 * [2/3 * x^3 - x] |[-√(1/2), √(1/2)]

S = 2 * (2/3 * (√(1/2))^3 - √(1/2)) - 2 * (2/3 * (-√(1/2))^3 - (-√(1/2)))

S = 2 * (2/3 * 1/√2 - √(1/2)) - 2 * (2/3 * 1/√2 - (-√(1/2)))

S = 2 * (2/3√2 - √(1/2)) - 2 * (2/3√2 + √(1/2))

S = 2 * (4/3√2 - 2√(1/2))

S = 8/3√2 - 4√(1/2)

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной уравнениями Y=x^2, y=-x^2, и y=1, равна 8/3√2 - 4√(1/2).