Question

Нужна срочная помощь с алгеброй. Заранее огромное спасибо!! Даю 40 баллов 1) Докажите тождество : (tg(t)+ctg(t))cos(t)/ctg(t)=cos^-1 (t) 2)Известно что cos (t) 2/3 ,0< t< пи/2 ,вычислите sin(t) ,tg(t),ctg(t) 3)существует ли такое число t,что выполняется равенство sin(t)=1/корень 11- корень 15

Answer 1

1)(tg(t)+ctg(t))cos(t)/ctg(t)=cos^-1 (t)

упростим левую часть (tg(t)+ctg(t))cos(t)=sint+(cos²t/sint)=(sin²t+cos²t)/sint=1/sint

(1/sint)/(ctg(t))=sint/(sint*cost)=1/cost=cos^-1 (t) - доказано.

использовал tgt=sint/cost ;ctgt=cost/sint; sin²t+cos²t=1

2) cos (t) =2/3 ,0< t< π/2- первая четверть, в ней все функции положительны ,вычислим sin(t) =√(1-cos²t)=√(1-4/9)=√5/3 ,

tg(t)=sint/cost=(√5/3)/(2/3)=√5/2, ctg(t)=1/tgt=2/√5=2√5/5

3), нет. не существует. т.к. синус изменяется от минус единицы до единицы

1/(√11-√15), √11≈3.317; √15≈3.873; 3.317-3.873=-0.556

1/(-0.556)≈-1.799

Answer 2

Решение задачи 1: Доказательство тождества

Для доказательства данного тождества, мы будем использовать основные определения и свойства тригонометрических функций.

Исходное тождество: (tg(t) + ctg(t))cos(t)/ctg(t) = cos^(-1)(t)

Начнем с левой стороны и преобразуем ее, используя определения тригонометрических функций:

(tg(t) + ctg(t))cos(t)/ctg(t) = (sin(t)/cos(t) + cos(t)/sin(t))cos(t)/cos(t)/sin(t)

Упрощаем выражение:

(sin(t)/cos(t) + cos(t)/sin(t))cos(t)/cos(t)/sin(t) = (sin^2(t) + cos^2(t))/sin(t)cos(t) = 1/sin(t)cos(t) = 1/tan(t) = cos^(-1)(t)

Таким образом, мы доказали, что левая сторона равна правой стороне, и тождество доказано.

Решение задачи 2: Вычисление sin(t), tg(t), ctg(t)

Известно, что cos(t) = 2/3, а 0 < t < π/2.

Мы можем использовать определения тригонометрических функций, чтобы вычислить sin(t), tg(t) и ctg(t):

Из определения синуса: sin^2(t) + cos^2(t) = 1

Подставляем значение cos(t): sin^2(t) + (2/3)^2 = 1

Решаем уравнение: sin^2(t) + 4/9 = 1

Вычитаем 4/9 из обеих сторон: sin^2(t) = 5/9

Извлекаем квадратный корень: sin(t) = ±sqrt(5/9)

Так как 0 < t < π/2, то sin(t) будет положительным числом: sin(t) = sqrt(5/9)

Теперь вычислим tg(t) и ctg(t):

Из определения тангенса: tg(t) = sin(t)/cos(t)

Подставляем значения sin(t) и cos(t): tg(t) = (sqrt(5/9))/(2/3) = (sqrt(5/9))/(2/3) * 3/1 = 3sqrt(5)/2

Из определения котангенса: ctg(t) = 1/tg(t)

Подставляем значение tg(t): ctg(t) = 1/(3sqrt(5)/2) = 2/(3sqrt(5))

Таким образом, мы получаем следующие значения: sin(t) = sqrt(5/9) tg(t) = 3sqrt(5)/2 ctg(t) = 2/(3sqrt(5))

Решение задачи 3: Существование числа t для sin(t) = 1/√(11-√15)

Мы должны проверить, существует ли число t, для которого выполняется равенство:

sin(t) = 1/√(11-√15)

Для этого нам нужно решить уравнение.

Возведем обе части уравнения в квадрат: sin^2(t) = (1/√(11-√15))^2

Упрощаем: sin^2(t) = 1/(11-√15)

Теперь используем тригонометрическую тождественную связь: sin^2(t) + cos^2(t) = 1

Подставляем значение sin^2(t): 1/(11-√15) + cos^2(t) = 1

Вычитаем 1/(11-√15) из обеих сторон: cos^2(t) = 1 - 1/(11-√15) = (11-√15)/(11-√15) - 1/(11-√15) = (11-√15-1)/(11-√15) = (10-√15)/(11-√15)

Теперь извлекаем квадратный корень: cos(t) = ±√((10-√15)/(11-√15))

Так как 0 < t < π/2, то cos(t) будет положительным числом: cos(t) = √((10-√15)/(11-√15))

Теперь мы можем вычислить sin(t), используя определение синуса: sin(t) = ±√(1 - cos^2(t))

Подставляем значение cos(t): sin(t) = ±√(1 - (10-√15)/(11-√15))^2) = ±√(1 - (10-√15)^2/(11-√15)^2) = ±√(1 - (100 - 20√15 + 15)/(121 - 22√15 + 15)) = ±√(1 - (115 - 20√15)/(151 - 22√15)) = ±√((151 - 22√15 - 115 + 20√15)/(151 - 22√15)) = ±√((36 - 2√15)/(151 - 22√15))

Таким образом, мы нашли значения sin(t) и cos(t), но не можем точно определить, существует ли число t, для которого выполняется равенство sin(t) = 1/√(11-√15), без дополнительной информации. Необходимо провести дополнительные вычисления или предоставить больше условий, чтобы определить существование такого числа t.