Question

Для даної функції знайдіть первісну, графік якої проходить через задану точку: а) f(x)=1/x^2; M(1;1) б) f(x)=e^x; K(0;2) в) f(x)=2^x; N(2;1/In2) г) f(x)=1/x; P(e^3;0)

Answer 1

Розв'язання завдання додаю

Answer 2

Давайте знайдемо первісні для кожної з заданих функцій та використаємо задані точки, щоб визначити конкретні константи і побудувати графік.

а) \( f(x) = \frac{1}{x^2} \); M(1,1)

Похідна від \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) є \( f'(x) = -\frac{2}{x^3} \).

Тепер знайдемо первісню:

\[ F(x) = \int \frac{1}{x^2} \,dx = -\frac{1}{x} + C \]

З умови, що графік проходить через точку M(1,1), ми можемо визначити константу C:

\[ -\frac{1}{1} + C = 1 \]

\[ C = 2 \]

Отже, первісна для функції \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) з точкою M(1,1) має вигляд:

\[ F(x) = -\frac{1}{x} + 2 \]

б) \( f(x) = e^x \); K(0,2)

Похідна від \( f(x) = e^x \) є \( f'(x) = e^x \).

Тепер знайдемо первісню:

\[ F(x) = \int e^x \,dx = e^x + C \]

З умови, що графік проходить через точку K(0,2), ми можемо визначити константу C:

\[ e^0 + C = 2 \]

\[ C = 1 \]

Отже, первісна для функції \( f(x) = e^x \) з точкою K(0,2) має вигляд:

\[ F(x) = e^x + 1 \]

в) \( f(x) = 2^x \); N(2,1/ln2)

Похідна від \( f(x) = 2^x \) є \( f'(x) = \ln(2) \cdot 2^x \).

Тепер знайдемо первісню:

\[ F(x) = \int 2^x \,dx = \frac{1}{\ln(2)} \cdot 2^x + C \]

З умови, що графік проходить через точку N(2,1/ln2), ми можемо визначити константу C:

\[ \frac{1}{\ln(2)} \cdot 2^2 + C = \frac{1}{\ln(2)} \]

\[ \frac{4}{\ln(2)} + C = \frac{1}{\ln(2)} \]

\[ C = -\frac{3}{\ln(2)} \]

Отже, первісна для функції \( f(x) = 2^x \) з точкою N(2,1/ln2) має вигляд:

\[ F(x) = \frac{1}{\ln(2)} \cdot 2^x - \frac{3}{\ln(2)} \]

г) \( f(x) = \frac{1}{x} \); P(e^3,0)

Похідна від \( f(x) = \frac{1}{x} \) є \( f'(x) = -\frac{1}{x^2} \).

Тепер знайдемо первісню:

\[ F(x) = \int \frac{1}{x} \,dx = \ln|x| + C \]

З умови, що графік проходить через точку P(e^3,0), ми можемо визначити константу C:

\[ \ln|e^3| + C = 0 \]

\[ 3 + C = 0 \]

\[ C = -3 \]

Отже, первісна для функції \( f(x) = \frac{1}{x} \) з точкою P(e^3,0) має вигляд:

\[ F(x) = \ln|x| - 3 \]

Тепер, ми можемо побудувати графіки цих функцій, використовуючи отримані первісні та задані точки.