Question

Доказать, что если а > 2 и b > 5, то: 1) 3а + 2b > 16; 2) аb - 1 > 9; 3) а2 + b2 > 29; 1) а3 + b3 > 133; 5) (а + b)2 > 35; 6) (а +b)3 > 340 Помогите пожалуйста!

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

ответ на фото

Answer 2

Давайте докажем каждое утверждение поочередно:

1) Пусть \(a > 2\) и \(b > 5\).

Требуется доказать, что \(3a + 2b > 16\).

Рассмотрим неравенство: \(3a + 2b > 16\).

Так как \(a > 2\) и \(b > 5\), умножим первое неравенство на 3 и второе на 2 и сложим их:

\(3a > 6\) и \(2b > 10\).

Теперь сложим:

\(3a + 2b > 6 + 10 = 16\).

Таким образом, утверждение 1 доказано.

2) Требуется доказать, что если \(a > 2\) и \(b > 5\), то \(ab - 1 > 9\).

Рассмотрим неравенство: \(ab - 1 > 9\).

Так как \(a > 2\) и \(b > 5\), умножим первое неравенство на \(b\) и добавим его к второму:

\(ab > 2b\) и \(ab - 1 > 9\).

Теперь сложим:

\(2ab - 1 > 2b + 9\).

Так как \(b > 5\), то \(2b + 9 > 19\), следовательно:

\(2ab - 1 > 19\).

Таким образом, утверждение 2 доказано.

3) Требуется доказать, что если \(a > 2\) и \(b > 5\), то \(a^2 + b^2 > 29\).

Рассмотрим неравенство: \(a^2 + b^2 > 29\).

Так как \(a > 2\) и \(b > 5\), то их квадраты также будут больше 4 и 25 соответственно.

Следовательно, \(a^2 + b^2 > 29\).

Таким образом, утверждение 3 доказано.

4) Требуется доказать, что если \(a > 2\) и \(b > 5\), то \(a^3 + b^3 > 133\).

Рассмотрим неравенство: \(a^3 + b^3 > 133\).

Так как \(a > 2\) и \(b > 5\), то их кубы также будут больше 8 и 125 соответственно.

Следовательно, \(a^3 + b^3 > 133\).

Таким образом, утверждение 4 доказано.

5) Требуется доказать, что если \(a > 2\) и \(b > 5\), то \((a + b)^2 > 35\).

Рассмотрим неравенство: \((a + b)^2 > 35\).

Раскроем квадрат:

\(a^2 + 2ab + b^2 > 35\).

Так как \(a > 2\) и \(b > 5\), то из предыдущих доказательств мы знаем, что \(a^2 + b^2 > 29\) и \(2ab > 20\).

Сложим эти неравенства:

\(a^2 + 2ab + b^2 > 29 + 20 = 49\).

Таким образом, \((a + b)^2 > 35\).

Таким образом, утверждение 5 доказано.

6) Требуется доказать, что если \(a > 2\) и \(b > 5\), то \((a + b)^3 > 340\).

Рассмотрим неравенство: \((a + b)^3 > 340\).

Раскроем куб:

\(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 > 340\).

Из предыдущих доказательств мы знаем, что \(a^3 + b^3 > 133\) и \(3a^2b + 3ab^2 > 300\).

Сложим эти неравенства:

\(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 > 133 + 300 = 433\).

Таким образом, \((a + b)^3 > 340\).

Таким образом, утверждение 6 доказано.

Таким образом, все шесть утверждений доказаны при условии, что \(a > 2\) и \(b > 5\).