Question

Докажите, что при любом натуральном n а)〖 n〗^3+5n кратно 3, б) 〖 n〗^3-n кратно 6, в) 〖 n〗^4-n^2 кратно 12

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

a)  пусть  n=1, 2, 3, 4, ......, тогда,

n^3 +5n  будет равно:  1^3 +5*1=6:3

2^3 +5*2=18:3,  3^3 +5*3=27+15=42:3

4^3 +5*4=64+20=84:3   и т. д.

Answer 2

Для доказательства этих утверждений, мы можем использовать метод математической индукции.

Утверждение а): n^3 + 5n кратно 3 при любом натуральном n.

Базис индукции: При n = 1, n^3 + 5n = 1^3 + 5*1 = 6, что делится на 3 без остатка.

Предположение индукции: Предположим, что для некоторого k, утверждение верно, то есть k^3 + 5k кратно 3.

Индукционный переход: Докажем, что утверждение верно для k+1.

(k+1)^3 + 5(k+1) = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 5k + 5 = k^3 + 5k + (3k^2 + 3k + 6).

Заметим, что первое слагаемое k^3 + 5k кратно 3 в соответствии с предположением индукции. Остается доказать, что второе слагаемое (3k^2 + 3k + 6) также кратно 3.

3k^2 + 3k + 6 = 3(k^2 + k + 2).

Выражение (k^2 + k + 2) является целым числом, поэтому 3(k^2 + k + 2) также делится на 3 без остатка.

Таким образом, при условии, что утверждение верно для k, оно верно и для k+1. По индукции, утверждение а) доказано.

Утверждение б): n^3 - n кратно 6 при любом натуральном n.

Базис индукции: При n = 1, n^3 - n = 1^3 - 1 = 0, что делится на 6 без остатка.

Предположение индукции: Предположим, что для некоторого k, утверждение верно, то есть k^3 - k кратно 6.

Индукционный переход: Докажем, что утверждение верно для k+1.

(k+1)^3 - (k+1) = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) - (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k - k.

Заметим, что первое слагаемое k^3 - k кратно 6 в соответствии с предположением индукции. Остается доказать, что второе слагаемое (3k^2 + 3k) также кратно 6.

3k^2 + 3k = 3k(k+1).

Выражение (k(k+1)) является произведением двух последовательных натуральных чисел, поэтому оно всегда делится на 2 без остатка. Кроме того, один из этих двух чисел является четным, поэтому произведение также делится на 2 без остатка.

Таким образом, 3k^2 + 3k кратно 6.

Таким образом, при условии, что утверждение верно для k, оно верно и для k+1. По индукции, утверждение б) доказано.

Утверждение в): n^4 - n^2 кратно 12 при любом натуральном n.

Базис индукции: При n = 1, n^4 - n^2 = 1^4 - 1^2 = 0, что делится на 12 без остатка.

Предположение индукции: Предположим, что для некоторого k, утверждение верно, то есть k^4 - k^2 кратно 12.

Индукционный переход: Докажем, что утверждение верно для k+1.

(k+1)^4 - (k+1)^2 = (k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1) - (k^2 + 2k + 1) = k^4 + 4k^3 + 5k^2 + 2k.

Заметим, что первое слагаемое k^4 - k^2 кратно 12 в соответствии с предположением индукции. Остается доказать, что второе слагаемое (4k^3 + 5k^2 + 2k) также кратно 12.

4k^3 + 5k^2 + 2k = k(4k^2 + 5k + 2).

Выражение (4k^2 + 5k + 2) является целым числом, поэтому k(4k^2 + 5k + 2) также делится на 12 без остатка.

Таким образом, при условии, что утверждение верно для k, оно верно и для k+1. По индукции, утверждение в) доказано.

Все утверждения а), б) и в) доказаны с использованием метода математической индукции.