Question

Вычислите производную функции y=f(x) в точке x0. 1),x0=82),x0=6:​

Answer 1

Формула дифференцирования:

$(x^n)'=nx^{n-1}$

1)

$f(x)=\sqrt[3]{x} =x^{\frac{1}{3} }$

$f'(x)=\dfrac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1 }=\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3} }=\dfrac{1}{3x^{\frac{2}{3} }}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2} }$

$f'(8)=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{8^2} }=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{64} }=\dfrac{1}{3\cdot4 }=\dfrac{1}{12}$

2)

$f(x)=-\dfrac{3}{x^2} =-3x^{-2}$

$f'(x)=-3\cdot(-2x^{-2-1})=-3\cdot(-2x^{-3})=6x^{-3}=\dfrac{6}{x^3}$

$f'(6)=\dfrac{6}{6^3} =\dfrac{1}{6^2} =\dfrac{1}{36}$

Answer 2

Производная функции y = f (x) по отношению к x определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю . Производная также обозначается как y', df/dx или f' (x). Производная имеет геометрический смысл как угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке.

Для вычисления производной функции в точке x0, нужно подставить значение x0 в формулу производной и вычислить предел. Например, если y = f (x) = x^2, то производная этой функции по x равна f' (x) = 2x. Тогда производная в точке x0 = 8 равна f' (8) = 2 * 8 = 16. А производная в точке x0 = 6 равна f' (6) = 2 * 6 = 12.