Question

СРООООЧНООО знайти усі пари цілих невід'ємних чисел, що задовольняють рівняння 5x²- 4xy+y² = 4x+1​

Answer 1

Данное уравнение равносильно уравнению $(2x-y)^2+(x-2)^2=5$ и имеет неотрицательные целые решения в нескольких случаев:

$\left \{ {{2x-y=1} \atop {x-2=2}} \right.$ получаем $\left \{ {{y=7} \atop {x=4}} \right.$

$\left \{ {{2x-y=-1} \atop {x-2=2}} \right.$ получаем $\left \{ {{y=9} \atop {x=4}} \right.$

$\left \{ {{2x-y=2} \atop {x-2=1}} \right.$ получаем $\left \{ {{y=4} \atop {x=3}} \right.$

$\left \{ {{2x-y=-2} \atop {x-2=1}} \right.$ получаем $\left \{ {{y=8} \atop {x=3}} \right.$

$\left \{ {{2x-y=2} \atop {x-2=-1}} \right.$ получаем $\left \{ {{y=0} \atop {x=1}} \right.$

$\left \{ {{2x-y=-2} \atop {x-2=-1}} \right.$ получаем $\left \{ {{y=4} \atop {x=1}} \right.$

$\left \{ {{2x-y=1} \atop {x-2=-2}} \right.$ получаем $\left \{ {{y=-1} \atop {x=0}} \right.$ - НЕ ПОДХОДИТ

$\left \{ {{2x-y=-1} \atop {x-2=-2}} \right.$ получаем $\left \{ {{y=1} \atop {x=0}} \right.$

Answer 2

Для того чтобы найти все пары целых невід'ємних чисел, які задовольняють рівняння 5x² - 4xy + y² = 4x + 1, спочатку давайте розглянемо це рівняння у вигляді квадратного тричлена.

5x² - 4xy + y² = 4x + 1

У цьому рівнянні містяться квадратичні терміни (x², -4xy, y²) та лінійні терміни (4x, 1). Давайте спробуємо привести його до більш простого вигляду.

Спочатку перенесемо всі терміни на одну сторону рівняння:

5x² - 4xy + y² - 4x - 1 = 0

Тепер давайте спробуємо розкласти цей квадратний тричлен на добуток двох біному:

(5x - y)² - 4x - 1 = 0

Тепер ми маємо квадратний тричлен у вигляді різниці квадратів:

(5x - y)² - (2)² = 0

Це можна подальше спростити:

(5x - y - 2)(5x - y + 2) = 0

Тепер ми маємо два вирази, які дорівнюють нулю:

5x - y - 2 = 0 або 5x - y + 2 = 0

Давайте розв'яжемо ці два рівняння окремо.

Розв'язання першого рівняння (5x - y - 2 = 0):

5x - y - 2 = 0

y = 5x - 2

Тепер ми можемо підставити цей вираз для y у друге рівняння.

Розв'язання другого рівняння (5x - y + 2 = 0):

5x - y + 2 = 0

y = 5x + 2

Тепер у нас є два вирази для y відносно x. Ми можемо підставити різні значення для x і знайти відповідні значення для y.

Приклад 1:

Підставимо x = 0:

y = 5(0) - 2 = -2

Таким чином, одна пара цілих невід'ємних чисел, що задовольняє рівняння, це (0, -2).

Приклад 2:

Підставимо x = 1:

y = 5(1) - 2 = 3

Таким чином, інша пара цілих невід'ємних чисел, що задовольняє рівняння, це (1, 3).

Ми можемо продовжувати цей процес, підставляючи різні значення для x, і знаходити відповідні значення для y. Таким чином, ми зможемо знайти всі пари цілих невід'ємних чисел, які задовольняють дане рівняння.