Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x2 – 2 и прямой y = x + 4. Выполните рисунок.

Answer 1

Объяснение:

$y=x^2-2\ \ \ \ \ y=x+4\ \ \ \ S=?\\x^2-2=x+4\\x^2-x-6=0\\D=25\ \ \ \ \sqrt{D} =5\\x=-2\ \ \ \ x=3.\\S=\int\limits^3_{-2} {(x+4-(x^2-2))} \, dx=\int\limits^3_{-2} {(-x^2+x+6)} \, dx=(-\frac{x^3}{3} +\frac{x^2}{2}+6x)\ |_{-2}^3=\\=-\frac{3^3}{3} +\frac{3^2}{2} +6*3-(-\frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2}+6*(-2))=-9+\frac{9}{2}+18-\frac{8}{3} -2+12 =\\=9+\frac{9*3-8*2}{2*3}+10=19+\frac{11}{6}=19+1\frac{5}{6}=20\frac{5}{6}.$

Ответ: S=20,83333 кв. ед.

Answer 2

Поиск площади фигуры

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции y = x^2 – 2 и прямой y = x + 4, мы можем использовать метод интегрирования. Площадь фигуры будет равна разности интегралов функций y = x^2 – 2 и y = x + 4 на соответствующем интервале.

Нахождение площади

Для начала, найдем точки пересечения графиков функций y = x^2 – 2 и y = x + 4. Решим уравнение:

x^2 – 2 = x + 4

Перенесем все члены в одну сторону:

x^2 - x - 6 = 0

Факторизуем это уравнение:

(x - 3)(x + 2) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 3 и x = -2.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, мы будем интегрировать функции y = x^2 – 2 и y = x + 4 на интервале от x = -2 до x = 3.

Интеграл функции y = x^2 – 2 на этом интервале будет равен:

∫[x=-2 to x=3] (x^2 – 2) dx

Интеграл функции y = x + 4 на этом интервале будет равен:

∫[x=-2 to x=3] (x + 4) dx

Вычислим эти интегралы, чтобы найти площадь фигуры.

Вычисление интегралов

Интеграл функции y = x^2 – 2 на интервале от x = -2 до x = 3:

∫[x=-2 to x=3] (x^2 – 2) dx = [1/3 * x^3 - 2x] [x=-2 to x=3]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

[1/3 * 3^3 - 2 * 3] - [1/3 * (-2)^3 - 2 * (-2)]

Упростим выражение:

[1/3 * 27 - 6] - [1/3 * (-8) + 4]

[9 - 6] - [-8/3 + 4]

3 - (-8/3 + 4)

3 + 8/3 - 4

9/3 + 8/3 - 12/3

17/3 - 12/3

5/3

Интеграл функции y = x + 4 на интервале от x = -2 до x = 3:

∫[x=-2 to x=3] (x + 4) dx = [1/2 * x^2 + 4x] [x=-2 to x=3]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

[1/2 * 3^2 + 4 * 3] - [1/2 * (-2)^2 + 4 * (-2)]

Упростим выражение:

[1/2 * 9 + 12] - [1/2 * 4 - 8]

[9/2 + 12] - [2 - 8]

[9/2 + 12] - [-6]

[9/2 + 12] + 6

[9/2 + 24/2] + 6

[33/2] + 6

33/2 + 12/2

45/2

Площадь фигуры

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x^2 – 2 и прямой y = x + 4, равна 5/3 или 1.67 (округленно).

Рисунок