Question

В бесконечно убывающей геометрической прогрессии, члены которой положительные числа, сумма первых трех членов равна 27. Если сумма прогрессии равна 24, найдите её знаменатель

Answer 1

Для решения этой задачи, нам необходимо найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумма которой равна 24, а сумма первых трех членов равна 27.

Решение:

Пусть знаменатель прогрессии равен q.

Сумма первых трех членов прогрессии равна 27, поэтому мы можем записать уравнение: a + aq + aq^2 = 27 .

Также, сумма прогрессии равна 24, поэтому мы можем записать уравнение: S = a / (1 - q) = 24 .

Мы можем использовать эти два уравнения для решения задачи.

Решение системы уравнений:

1. Решим первое уравнение относительно a: a = 27 / (1 + q + q^2).

2. Подставим это значение a во второе уравнение: 27 / (1 + q + q^2) / (1 - q) = 24.

3. Упростим уравнение: 27 / (1 + q + q^2) = 24 * (1 - q).

4. Распространим скобки: 27 = 24 * (1 - q) * (1 + q + q^2).

5. Раскроем скобки: 27 = 24 - 24q + 24q^2 + 24q - 24q^2 + 24q^3.

6. Упростим уравнение: 27 = 24 + 24q^3.

7. Перенесем все в одну сторону: 24q^3 = 27 - 24.

8. Упростим уравнение: 24q^3 = 3.

9. Разделим обе части уравнения на 24: q^3 = 3/24.

10. Упростим уравнение: q^3 = 1/8.

11. Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения: q = ∛(1/8).

12. Упростим уравнение: q = 1/2.

Таким образом, знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен 1/2.

Пожалуйста, обратите внимание, что решение данной задачи было получено путем аналитического решения системы уравнений и может быть проверено путем подстановки найденного значения знаменателя в исходные уравнения.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.