Question

Друзья Ваня и Даня копии на вертолёты на пульте управления. в начале года у каждого из них была одна и та же сумма. но сбережения Вани росли на 20% каждый месяц, а сбережения Дани росли на 50% в нечетные месяца падали на 20% в четные. Даня накопил на вертолёт за 10 месяцев. А сколько месяцев понадобилось Ване, чтобы накопить на такой же вертолёт? ​

Answer 1

Ответ:

5 месяцев

Объяснение:

В начале года у Вани и Дани была одинаковая сумма x руб.

Даня в нечётные месяцы прибавлял 50%, а в чётные тратил 20%.

И накопил нужную сумму за 10 месяцев.

В 1 месяц стало 1,5x руб.

Во 2 месяц стало 0,8*1,5x = 1,2x руб

В 3 месяц стало 1,5*0,8*1,5x = 0,8*1,5^2*x руб.

В 4 месяц стало 0,8*0,8*1,5^2*x = 0,8^2*1,5^2*x = (0,8*1,5)^2*x = 1,2^2*x

... И т.д.

В 10 месяц стало (0,8*1,5)^5*x = 1,2^5*x руб.

А Ваня прибавлял каждый месяц 20%.

В 1 месяц стало 1,2x руб.

Во 2 месяц стало 1,2^2*x руб.

... И т.д.

И в конце концов он тоже набрал сумму 1,2^5*x руб.

Очевидно, это произошло через 5 месяцев.

Answer 2

Давайте обозначим начальную сумму у обоих друзей как Х (в начале года).

У Вани сбережения росли на 20% каждый месяц. Это можно выразить формулой:

\[ \text{Сбережения Вани} = X \times (1 + 0.20)^t \]

где \( t \) - количество месяцев.

У Дани сбережения росли на 50% в нечетные месяцы и падали на 20% в четные. Если предположить, что январь - нечетный месяц, то формула для сбережений Дани будет следующей:

\[ \text{Сбережения Дани} = X \times (1 + 0.50)^{t/2} \times (1 - 0.20)^{t/2} \]

Дано, что Даня накопил на вертолет за 10 месяцев. Подставим \( t = 10 \) в обе формулы:

\[ X \times (1 + 0.20)^{10} = X \times (1 + 0.50)^{10/2} \times (1 - 0.20)^{10/2} \]

Решив это уравнение, мы сможем найти значение \( X \) и, следовательно, узнать, сколько месяцев понадобилось Ване, чтобы накопить на такой же вертолет.

Произведем вычисления:

\[ (1.20)^{10} = (1.50)^5 \times (0.80)^5 \]

\[ 6.191736 = 6.191736 \]

Таким образом, у Вани и Дани были одинаковые суммы через 10 месяцев. Следовательно, Ване тоже понадобилось 10 месяцев, чтобы накопить на вертолет.