Question

Доведіть що значення виразу 13⁴⁰-13³⁹-13³⁸ділиться на 31​

Answer 1

Ответ:

$13^{40} -13^{39} -13^{38} =13^{38} (13^{2} -13-1)=13^{38} (169-1)=13^{38}*155=13^{38}*31*5$

Объяснение:

в значении выражения есть множитель 31, значит, оно делится на 31

чтд.

Answer 2

Щоб довести, що значення виразу 13⁴⁰ - 13³⁹ - 13³⁸ ділиться на 31, ми можемо скористатися теорією подільності, зокрема правилом Ферма та правилом додавання та множення.

Правило Ферма

Правило Ферма стверджує, що якщо p є простим числом, a є цілим числом, яке не ділиться на p, то a^(p-1) - 1 ділиться на p.

Правило додавання та множення

Якщо a і b діляться на p, то a + b і a * b також діляться на p.

Тепер давайте застосуємо ці правила до нашого виразу.

Розклад числа 31

Розкладемо число 31 на прості множники: 31 = 2 * 3 * 5 + 1

Правило Ферма для числа 31

Застосуємо правило Ферма до числа 31: 13^(31-1) ≡ 1 (mod 31)

Застосовуємо правило додавання та множення

Тепер розглянемо вираз 13⁴⁰ - 13³⁹ - 13³⁸: 13⁴⁰ - 13³⁹ - 13³⁸ ≡ (13^(31-1))^k * 13^(9+1) * (13^(31-1))^m - 13^(9+1) - 13^(9+1) (mod 31)

За правилом Ферма, перший доданок 13^(31-1) ділиться на 31, а також третій доданок 13^(31-1) ділиться на 31. Також, оскільки 13^(9+1) ділиться на 31, то другий доданок 13^(9+1) також ділиться на 31.

Таким чином, ми отримуємо: (13^(31-1))^k * 13^(9+1) * (13^(31-1))^m - 13^(9+1) - 13^(9+1) ≡ 0 (mod 31)

Отже, значення виразу 13⁴⁰ - 13³⁹ - 13³⁸ ділиться на 31.