Question

Докажите, что число π является периодом функции y=√(-sin²x). С полным решением

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y=√(-sin²x).

ОДЗ

-sin²x≥0

так как sin²x≥0

то -sin²x≥0 имеет смысл только при sinx=0

это частный случай

x=kп, k∈Z

√(-sin²x)=0

√(-sin²(x+п))=√(-sin²(kп+п))=0

√(-sin²(x+п))=√(-sin²(x)) для любого х из ОДЗ

⇒ п - период

Answer 2

Для доказательства того, что число π является периодом функции \(y = \sqrt{-\sin^2(x)}\), давайте рассмотрим характеристики функции и её поведение.

Функция \(y = \sqrt{-\sin^2(x)}\) имеет внутри себя выражение \(-\sin^2(x)\). Заметим, что \(-\sin^2(x)\) равносильно \(\sin^2(x)\), так как умножение на -1 не меняет значение квадрата. Таким образом, функцию можно переписать как \(y = \sqrt{\sin^2(x)}\).

С учетом того, что \(\sqrt{\sin^2(x)}\) равно \(\left|\sin(x)\right|\), функцию можно переписать как \(y = \left|\sin(x)\right|\). Также известно, что график функции \(\left|\sin(x)\right|\) имеет период \(\pi\). Это означает, что при увеличении аргумента на \(\pi\), значение функции повторяется.

Таким образом, исходная функция \(y = \sqrt{-\sin^2(x)}\) также будет иметь период \(\pi\), так как она эквивалентна функции \(y = \left|\sin(x)\right|\), а у неё период равен \(\pi\).

Таким образом, число \(\pi\) является периодом функции \(y = \sqrt{-\sin^2(x)}\).