Question

Может ли сумма квадратов двух комплексных чисел быть вещественным отрицательным числом?

Answer 1

Собственно, комплексные числа вводились кроме всего прочего для того, чтобы существовало такое число, в квадрате дающее отрицательное число. Разумеется, такое число не одно. Тогда, сумма квадратов двух чисел с таким свойством сводится к нахождению суммы двух отрицательных чисел - такая сумма отрицательна.

Например, возьмем числа $3i$ и $4i$ и найдем сумму их квадратов:

$(3i)^2+(4i)^2=9i^2+16i^2=9\cdot(-1)+16\cdot(-1)=-9-16=-25$

Ответ: да, может

Answer 2

Да, сумма квадратов двух комплексных чисел может быть вещественным отрицательным числом. Для примера рассмотрим два комплексных числа:

\(z_1 = a + bi\) и \(z_2 = c + di\), где \(a, b, c, d\) - вещественные числа, а \(i\) - мнимая единица (\(i^2 = -1\)).

Тогда сумма их квадратов будет:

\[ z_1^2 + z_2^2 = (a + bi)^2 + (c + di)^2 \]

Раскрывая скобки и объединяя вещественные и мнимые части, получаем:

\[ = (a^2 - b^2 + 2abi) + (c^2 - d^2 + 2cdi) \]

Теперь, если предположить, что \(a^2 - b^2 + c^2 - d^2 < 0\), то сумма квадратов будет вещественным отрицательным числом.

Пример:

Пусть \(z_1 = 1 + 2i\) и \(z_2 = 3 + 4i\). Тогда:

\[ z_1^2 + z_2^2 = (1 + 2i)^2 + (3 + 4i)^2 = (-3 + 10i) + (-7 + 24i) = -10 + 34i \]

Здесь вещественная часть (-10) является отрицательным числом, а мнимая часть (34) остается комплексной.