Question

Найдите манатоность функции: y=x(x-3) ^3 /2 y=x^4 +1/3x^2-2

Answer 1

Ответ:

2 1/3

Объяснение:

1) Найти интервалы монотонности функции

y=x^3-3x^2+1

y'=3x²-6x=0 ; 3x(x-2)=0; x₁=0;x₂= 2

нанесем корни на числовую прямую и определим знаки производной на интервалах

y'            +                         -                             +                                                                    

(-∞)--------------------0------------------------2---------------------------(+∞)

y     возрастает          убывает              возрастает

у возрастает при х∈(-∞;0]∪[2;+∞)

у убывает при х∈[0;2]

       

2) Найти экстремумы функции  

а) y=x^2-10x+9

y'=2x-10=0 ; x=5

при х<5 y'<0

при х>5 y'>0

⇒ х=5 точка экстремума

экстремум:

y(5)=25-50+9=-16

б) в предположении что (1/3) это коэффициент при х³

y=(1/3)х³+x^2-3x+4

y'=x²+2x-3=0; x₁=1; x₂=-3 (корни найдены подбором с использованием теоремы Виета, но можно и по формуле корней квадратного уравнения)

определим знаки производной в окрестности корней

при х∈(-∞;-3) и х∈(1;+∞) y'>0

при х∈(-3;1) y'<0

⇒ -3 и 2  точки экстремума

экстремумы:

y(-3)=(-27/3)+9+9+4= -9+9+9+4==13

y(1)=(1/3)+1-3+4=2 1/3 (две целых одна третья)

Answer 2

Для нахождения монотонности функций необходимо проанализировать производную функции. Если производная положительна на некотором интервале, то функция монотонно возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна на некотором интервале, то функция монотонно убывает на этом интервале.

Давайте посмотрим на каждую функцию по отдельности и найдем их производные.

Функция y = x(x-3)^3 / 2:

Для нахождения производной данной функции, воспользуемся правилом производной произведения функций (производная произведения равна произведению производных):

y' = (x-3)^3 * (1/2) + x * 3(x-3)^2 = (x-3)^3 / 2 + 3x(x-3)^2

Теперь анализируем знак производной. Для этого найдем точки, где производная равна нулю и проверим знаки производной на интервалах между нулями.

Пусть производная равна нулю:

(x-3)^3 / 2 + 3x(x-3)^2 = 0

Мы видим, что производная имеет нулевые значения при x = 0 и x = 3. Теперь проверим знаки производной на интервалах (-∞, 0), (0, 3) и (3, +∞).

- При x < 0: Подставляем x = -1 (любое значение меньше 0) в производную и получаем положительное значение. Значит, функция монотонно возрастает на интервале (-∞, 0). - При 0 < x < 3: Подставляем x = 1 (любое значение между 0 и 3) в производную и получаем отрицательное значение. Значит, функция монотонно убывает на интервале (0, 3). - При x > 3: Подставляем x = 4 (любое значение больше 3) в производную и получаем положительное значение. Значит, функция монотонно возрастает на интервале (3, +∞).

Таким образом, функция y = x(x-3)^3 / 2 монотонно возрастает на интервалах (-∞, 0) и (3, +∞), и монотонно убывает на интервале (0, 3).

Функция y = x^4 + 1/3x^2 - 2:

Для нахождения производной данной функции, воспользуемся правилом производной суммы функций (производная суммы равна сумме производных):

y' = 4x^3 + (1/3)(2x) = 4x^3 + (2/3)x

Теперь анализируем знак производной. Для этого найдем точки, где производная равна нулю и проверим знаки производной на интервалах между нулями.

Пусть производная равна нулю:

4x^3 + (2/3)x = 0

Мы видим, что производная имеет нулевые значения при x = 0. Теперь проверим знаки производной на интервалах (-∞, 0) и (0, +∞).

- При x < 0: Подставляем x = -1 (любое значение меньше 0) в производную и получаем отрицательное значение. Значит, функция монотонно убывает на интервале (-∞, 0). - При x > 0: Подставляем x = 1 (любое значение больше 0) в производную и получаем положительное значение. Значит, функция монотонно возрастает на интервале (0, +∞).

Таким образом, функция y = x^4 + 1/3x^2 - 2 монотонно убывает на интервале (-∞, 0) и монотонно возрастает на интервале (0, +∞).

Вывод:

- Функция y = x(x-3)^3 / 2 монотонно возрастает на интервалах (-∞, 0) и (3, +∞), и монотонно убывает на интервале (0, 3). - Функция y = x^4 + 1/3x^2 - 2 монотонно убывает на интервале (-∞, 0) и монотонно возрастает на интервале (0, +∞).