Question

Хеелп!!Решите неравенствоf'(x)⩾0y = 1/3x³-x²-8x-1​​

Answer 1

Ответ:

Применяем правила дифференцирования функций .

$\boxed{\ (u\pm v)'=u'\pm v'\ \ \ ,\ \ (x^{n})'=nx^{n-1}\ \ ,\ \ (Cu)'=Cu'\ }\\\\y=\dfrac{1}{3}\, x^3-x^2-8x-1\ \ ,\ \ \ y'(x)\geq 0\ \ ,\\\\y'=\dfrac{1}{3}\cdot 3x^2-2x-8\ \ ,\ \ \ x^2-2x-8\geq 0$

Корни квадратного трёхчлена найдём по теореме Виета, это будут числа   $x_1=-2\ ,\ x_2=4$  .

Разложим левую часть неравенства на множители

$(x+2)(x-4)\geq 0$   и решим его методом интервалов .

Знаки   $+++[-2\ ]---[\ 4\ ]+++$  .

Выбираем знак плюс .

$x\in (-\infty \, ;-2\ ]\cup [\ 4\ ;+\infty \, )$

Answer 2

Для решения неравенства f'(x) ≥ 0, нам нужно найти интервалы, на которых производная функции f(x) неотрицательна.

Для начала найдем производную функции f(x). Для этого возьмем производную каждого члена по отдельности:

f'(x) = (1/3)(3x²) - (2x) - 8

Упростим это выражение:

f'(x) = x² - 2x - 8

Теперь решим неравенство x² - 2x - 8 ≥ 0. Для этого найдем корни квадратного уравнения x² - 2x - 8 = 0:

(x - 4)(x + 2) = 0

Отсюда получаем два корня: x = 4 и x = -2.

Теперь построим таблицу знаков, чтобы найти интервалы, на которых производная неотрицательна:

-∞ -2 4 +∞ f'(x) | - + - + ------------------------------------------------------------- f'(x) ≥ 0 | - + - +

Из таблицы видно, что производная f'(x) неотрицательна на интервалах (-∞, -2] и [4, +∞).

Теперь найдем значения функции y = (1/3)x³ - x² - 8x - 1 на этих интервалах:

1) Подставим x = -3 (любое значение из интервала (-∞, -2]):

y = (1/3)(-3)³ - (-3)² - 8(-3) - 1 = -9/3 - 9 + 24 - 1 = -3 - 9 + 24 - 1 = 11

2) Подставим x = 5 (любое значение из интервала [4, +∞)):

y = (1/3)(5)³ - (5)² - 8(5) - 1 = 125/3 - 25 - 40 - 1 = 125/3 - 25 - 40 - 1 = 125/3 - 75 - 1 = 40/3 - 76/3 = -36/3 = -12

Таким образом, решением неравенства y ≥ 0 на интервалах (-∞, -2] и [4, +∞) являются все значения функции, большие или равные 11.