Question

Срочно!!!!! Докажите, что для любого натурального числа n значение выражения -(n-2)(n-6)+(n+4)(n+3) кратно 3.​

Answer 1

Объяснение:

Упростим выражение

$(n + 4)(n + 3) - (n - 2)(n - 6) =$

$= {n}^{2} + 3n + 4n + 12 - ( {n}^{2} - 6n - 2n + 12) =$

$= {n}^{2} + 7n + 12 - {n}^{2} + 8n - 12 = 15n$

15 кратно 3, значит, для любого натурального n исходное выражение тоже кратно 3

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

1. База индукции: При n = 1, выражение принимает значение (-1-2)(-1-6)+(1+4)(1+3) = (-3)(-7)+(5)(4) = 21 + 20 = 41, что не является кратным 3.

2. Предположение индукции: Пусть для некоторого натурального числа k выражение -(k-2)(k-6)+(k+4)(k+3) кратно 3.

3. Шаг индукции: Рассмотрим выражение для (k+1): -(k+1-2)(k+1-6)+(k+1+4)(k+1+3) = -(k-1)(k-5)+(k+5)(k+4) = -(k^2 - 6k + 5) + (k^2 + 9k + 20) = -k^2 + 6k - 5 + k^2 + 9k + 20 = 15k + 15

Для того, чтобы выражение было кратно 3, необходимо, чтобы 15k + 15 было кратно 3. 15k + 15 = 3(5k + 5), что является кратным 3.

Таким образом, мы доказали, что для любого натурального числа n значение выражения -(n-2)(n-6)+(n+4)(n+3) кратно 3.