Question

Решите уравнение(x-4)(x+2) -(x-5) (x+6) = -x(3x+5)(2x+1)=(6x+5)(x-3) +7​

Answer 1

Ответ:

а) 11 б) -0, 5

Объяснение:

а) х^2+2х-4х-8-х^2-6х+5х+30=-х

-2х=-22

х=11

б) 6х^2+3х+10х+5=6х^2-18х+5х-15+7

26х=-13

х= -0,5

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом. У нас есть следующее уравнение:

$(x-4)(x+2)-(x-5)+(x+6)=-x(3x+5)(2x+1)=(6x+5)(x-3)+7$

Раскрытие скобок

Начнем с раскрытия скобок. Раскроем скобки слева от знака равенства:

$(x-4)(x+2) = x^2 + 2x - 4x - 8 = x^2 - 2x - 8$

Раскроем скобки справа от знака равенства:

$-x(3x+5)(2x+1) = -x(6x^2 + 3x + 10x + 5) = -x(6x^2 + 13x + 5) = -6x^3 - 13x^2 - 5x$

$(6x+5)(x-3) = 6x^2 - 18x + 5x - 15 = 6x^2 - 13x - 15$

Сокращение и упрощение

Теперь объединим все части уравнения:

$(x^2 - 2x - 8) - (x-5) + (x+6) = -6x^3 - 13x^2 - 5x = 6x^2 - 13x - 15 + 7$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 - 2x - 8 - x + 5 + x + 6 = -6x^3 - 13x^2 - 5x + 6x^2 - 13x - 15 + 7$

Соберем все члены с одинаковыми степенями x:

$x^2 - 2x - x + x + 6 - 8 + 5 + 6 = -6x^3 - 13x^2 + 6x^2 - 5x - 13x + 6 - 15 + 7$

Упростим:

$x^2 + 1 = -6x^3 - 7x^2 - 11x - 2$

Приведение подобных членов

Полученное уравнение содержит члены с разными степенями x. Для его решения мы должны привести все члены к одной степени. В данном случае это степень 3, поскольку наибольшая степень x в уравнении равна 3.

Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

$6x^3 + 7x^2 + 11x + 2 + x^2 + 1 = 0$

Теперь упорядочим члены по убыванию степени x:

$6x^3 + 7x^2 + x^2 + 11x + 2 + 1 = 0$

$6x^3 + 8x^2 + 11x + 3 = 0$

Поиск рациональных корней

Для решения этого уравнения мы можем воспользоваться рациональным корнем теоремы (теорема о рациональных корнях). Согласно этой теореме, все рациональные корни уравнения будут делителями свободного члена (3) и коэффициента при старшей степени (6).

Теперь мы можем приступить к проверке различных значений, чтобы найти рациональные корни. Легче всего начать с целых чисел, которые делятся на 3 или 6, так как это упрощает вычисления.

Попробуем некоторые значения, начиная с -3:

$f(-3) = 6(-3)^3 + 8(-3)^2 + 11(-3) + 3 = -162 + 72 - 33 + 3 = -120$

$f(-2) = 6(-2)^3 + 8(-2)^2 + 11(-2) + 3 = -48 + 32 - 22 + 3 = -35$

$f(-1) = 6(-1)^3 + 8(-1)^2 + 11(-1) + 3 = -6 + 8 - 11 + 3 = -6$

$f(0) = 6(0)^3 + 8(0)^2 + 11(0) + 3 = 0 + 0 + 0 + 3 = 3$

$f(1) = 6(1)^3 + 8(1)^2 + 11(1) + 3 = 6 + 8 + 11 + 3 = 28$

$f(2) = 6(2)^3 + 8(2)^2 + 11(2) + 3 = 48 + 32 + 22 + 3 = 105$

$f(3) = 6(3)^3 + 8(3)^2 + 11(3) + 3 = 162 + 72 + 33 + 3 = 270$

Мы видим, что $f(0) = 3$, поэтому уравнение имеет рациональный корень при $x = 0$.

Факторизация

Мы найдем один рациональный корень $x = 0$. Теперь мы можем разделить наше исходное уравнение на $(x-0)$, чтобы найти остальные корни.

$6x^3 + 8x^2 + 11x + 3 = (x-0)(6x^2 + ax + b)$

Используя деление многочленов синтетическим методом, мы можем найти коэффициенты $a$ и $b$:

      6 | 6  8  11  3
         -  0   0  0
         ------------
          6  8  11  3

Таким образом, $6x^3 + 8x^2 + 11x + 3 = 6x^2 + 8x + 11 + \frac{3}{x}$.

Корни уравнения

Мы нашли, что $x = 0$ - рациональный корень. Теперь решим $6x^2 + 8x + 11 = 0$ для оставшихся корней.

Используя квадратное уравнение, мы можем найти корни:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(6)(11)}}{2(6)}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 264}}{12}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{-200}}{12}$

$x = \frac{-8 \pm i\sqrt{200}}{12}$

У нас есть два комплексных корня:

$x_1 = \frac{-8 + i\sqrt{200}}{12} = \frac{-2 + i\sqrt{50}}{3}$

$x_2 = \frac{-8 - i\sqrt{200}}{12} = \frac{-2 - i\sqrt{50}}{3}$

Таким образом, решение данного уравнения состоит из трех корней:

$x = 0, \frac{-2 + i\sqrt{50}}{3}, \frac{-2 - i\sqrt{50}}{3}$

Важно отметить, что решение данного уравнения может иметь и другие корни, которые могут быть найдены с помощью других методов решения уравнений.