Question

Вычислите наименьшее и наибольшее значения функции y=x³+3x²-45x-2 на отрезке [-7;8] Ответ:y наим.=y наиб.=​

Answer 1

Объяснение:

$y=x^3+3x^2-45x-2\ \ \ \ [-7;8]\\y'=3x^2+6x-45=0\\3x^2+6x-45=0\ |:3\\x^2+2x-15=0\\D=64\ \ \ \ \sqrt{D}=8\\ x_1=-5\in[-7;8]\ \ \ \ \ x_2=3\in[-7;8].\\y(-7)=(-7)^3+3*(-7)^2-45*(-7)-2=-343+147+315-2=117.\\y(-5)=(-5)^3+3*(-5)^2-45*(-5)-2=-125+75+225-2=173.\\y(3)=3^3+3*3^2-45*3-2=27+27-135-2=83.\\y(8)=8^3+3*8^2-45*8-2=512+192-360-2=342.$

Ответ:

y наим.=83  

у наиб.=342.

Answer 2

Для вычисления наименьшего и наибольшего значений функции y=x³+3x²-45x-2 на отрезке [-7;8] необходимо найти экстремумы функции на этом отрезке.

Для этого найдем производную функции y=x³+3x²-45x-2: y' = 3x² + 6x - 45

Найдем точки, где производная равна нулю: 3x² + 6x - 45 = 0 Далее решим квадратное уравнение: D = 6² - 4*3*(-45) = 36 + 540 = 576 x₁,₂ = (-6 ± √576) / (2*3) = (-6 ± 24) / 6 x₁ = (-6 + 24) / 6 = 3 x₂ = (-6 - 24) / 6 = -5

Теперь найдем значение функции в найденных точках и на концах отрезка: y(-7) = (-7)³ + 3(-7)² - 45(-7) - 2 = -133 y(-5) = (-5)³ + 3(-5)² - 45(-5) - 2 = -72 y(3) = 3³ + 3*3² - 45*3 - 2 = -20 y(8) = 8³ + 3*8² - 45*8 - 2 = 138

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-7;8] равно -133, а наибольшее значение равно 138.