Question

найти точку минимумаy=(18-x)e^18-xНайти наименьшее значение функции на отрезке [-2.5;0]y=4х -lп(х + 3)^4наиб.значение функции на отрезке [-7.5;0]y=ln(x+8)^3-3xнаим.значение функции на отрезке [-2,5;0]y=3x-3ln(x+3)+5

Answer 1

Берешь производную 
y'(x) = 3*x^2 + 36*x 

Приравниваешь ее к 0. 
3*x^2 + 36*x = 0 
3*x*(x + 12) = 0 
x1 = 0 
x2 = -12 (не подходит) . 

Вычисляешь значения функции при x = 0 и на концах отрезка: 
y(-3) = x^3 + 18*x^2 + 11 = 146 
y(0) = x^3 + 18*x^2 + 11 = 11 
y(3) = x^3 + 18*x^2 + 11 = 200 

Значит наименьшее значение на отрезке [-3; 3] равно 11. 

Answer 2

Для решения этих задач, мы можем использовать методы дифференциального исчисления. Для каждой функции, нужно найти производную и найти точки, где производная равна нулю. Эти точки будут либо точками экстремума, либо точками перегиба функции.

Задача 1: y = (18-x)e^(18-x)

Для нахождения точки минимума, нужно найти точку, где производная функции равна нулю:

y' = (18-x)(-e^(18-x)) + e^(18-x) = -e^(18-x) + xe^(18-x) + e^(18-x) = xe^(18-x) = 0

Решая это уравнение, получаем:

x = 0

Теперь нужно проверить, является ли эта точка точкой минимума или максимума. Для этого можно взять вторую производную и проверить ее знак:

y'' = e^(18-x) - xe^(18-x)

Подставляем x = 0:

y''(0) = e^18 - 0 = e^18 > 0

Так как вторая производная положительна, точка x = 0 является точкой минимума. Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим x = 0 в исходную функцию:

y(0) = (18-0)e^(18-0) = 18e^18

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-2.5, 0] равно 18e^18.

Задача 2: y = 4x - (x + 3)^4

Аналогично предыдущей задаче, находим производную функции:

y' = 4 - 4(x + 3)^3

Чтобы найти точки экстремума, приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

4 - 4(x + 3)^3 = 0

Решая это уравнение, получаем:

(x + 3)^3 = 1

x + 3 = 1

x = -2

Теперь находим вторую производную и проверяем ее знак:

y'' = -12(x + 3)^2

Подставляем x = -2:

y''(-2) = -12(-2 + 3)^2 = -12 > 0

Так как вторая производная отрицательна, точка x = -2 является точкой максимума. Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим x = -2 в исходную функцию:

y(-2) = 4(-2) - (-2 + 3)^4 = -8 - 1 = -9

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-7.5, 0] равно -9.

Задача 3: y = ln(x + 8)^3 - 3x

Снова находим производную функции:

y' = 3(x + 8)^(3-1) * 1 - 3

y' = 3(x + 8)^2 - 3

Приравниваем производную к нулю:

3(x + 8)^2 - 3 = 0

(x + 8)^2 - 1 = 0

(x + 8)^2 = 1

x + 8 = ±1

x = -9 или x = -7

Теперь находим вторую производную:

y'' = 6(x + 8)

Подставляем x = -9 и x = -7:

y''(-9) = 6(-9 + 8) = -6

y''(-7) = 6(-7 + 8) = 6

Так как вторая производная меняет знак отрицательный на положительный, точка x = -9 является точкой минимума, а точка x = -7 является точкой максимума. Чтобы найти значения функции в этих точках, подставим значения x в исходную функцию:

y(-9) = ln(-9 + 8)^3 - 3(-9) = ln(-1)^3 + 27 = ln(-1) + 27

y(-7) = ln(-7 + 8)^3 - 3(-7) = ln(1)^3 + 21 = ln(1) + 21

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-2.5, 0] равно ln(-1) + 27, а наибольшее значение функции на отрезке [-7.5, 0] равно ln(1) + 21.