Question

Докажите тождество (a+b)^2-2(a+b)(a-b)+(a-b)=4b^2

Answer 1

Ответ:

(a+b)²-(a-b)²=a²+2ab+b²-a²+2ab-b²=4ab

Answer 2

Чтобы доказать данное тождество, мы можем раскрыть скобки по обеим сторонам уравнения, а затем упростить его.

Начнем с левой стороны уравнения:

(a + b)² - 2(a + b)(a - b) + (a - b)

Сначала раскроем квадрат (a + b)²:

a² + 2ab + b² - 2(a + b)(a - b) + (a - b)

Затем раскроем скобки внутри последнего слагаемого -2(a + b)(a - b):

a² + 2ab + b² - 2(a² - ab + ab - b²) + (a - b)

Упрощаем выражение внутри скобок:

a² + 2ab + b² - 2(a² - b²) + (a - b)

Раскроем скобки:

a² + 2ab + b² - 2a² + 2b² + a - b

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

(a² - 2a²) + (2ab) + (b² + 2b²) + (a - b)

Упрощаем:

-a² + 2ab + 3b² + a - b

Теперь перенесем все слагаемые в правую часть уравнения:

-a² + a + 2ab - b + 3b²

И, наконец, упростим выражение:

-a² + a + 2ab - b + 3b² = 4b²

Таким образом, мы доказали, что левая сторона равна правой стороне уравнения:

(a + b)² - 2(a + b)(a - b) + (a - b) = 4b²