Question

Как доказать неравенство (2x - 3)(2x+3) > (x-5)(x+5)

Answer 1

Ответ:

[2х-3][2х+3]>[х-5][х+5]

4х в квадрате - 9>х в квадрате - 25

Отсюда следует 4х больше х, а - 9 больше - 25

Answer 2

Для доказательства данного неравенства (2x - 3)(2x + 3) > (x - 5)(x + 5) мы можем воспользоваться методом раскрытия скобок, затем приведения подобных и анализа знаков. Давайте начнем с раскрытия скобок и приведения подобных.

Раскрытие скобок:

(2x - 3)(2x + 3) = 4x^2 - 9 (x - 5)(x + 5) = x^2 - 25

Полученное неравенство:

Теперь мы можем переписать данное неравенство в виде: 4x^2 - 9 > x^2 - 25

Приведение подобных и упрощение:

Далее вычитаем x^2 из обеих сторон и добавляем 9 к обеим сторонам: 3x^2 > -16

Анализ знаков:

Теперь приведем неравенство к виду, где слева стоит ноль: 3x^2 + 16 > 0

Далее, чтобы решить это неравенство, мы можем использовать тестовую точку и таблицу знаков. Рассмотрим несколько случаев:

1. Когда x < 0: - Подставим x = -1: 3(-1)^2 + 16 > 0, то есть 3 + 16 > 0, что верно. - Таким образом, при x < 0, неравенство выполняется.

2. Когда x > 0: - Подставим x = 1: 3(1)^2 + 16 > 0, то есть 3 + 16 > 0, что верно. - Таким образом, при x > 0, неравенство также выполняется.

Вывод:

Таким образом, неравенство 4x^2 - 9 > x^2 - 25 выполняется для всех значений x.