Question

Задание 3. Задана функция y = x² − 4|x| + 4. а) Постройте график данной функции. б) По графику функции определите: область значений функции; промежутки возрастания и убывания функции. Решение записывайте подробно

Answer 1

Все решение на приложенной фотографии, пыталась максимально подробно.

Answer 2

а) Для построения графика функции y = x² - 4|x| + 4, мы начнем с построения графиков функций y = x² и y = -4|x| + 4, а затем объединим их.

График функции y = x² - 4|x| + 4 будет иметь параболическую форму из-за x² и модульную функцию из-за -4|x|.

б) Область значений функции: Для функции y = x² - 4|x| + 4, область значений будет зависеть от значения x. Поскольку x² всегда неотрицательно, а -4|x| также неотрицательно, то минимальное значение функции будет равно 4, когда x = 0. Следовательно, область значений функции будет [4, +∞).

Промежутки возрастания и убывания функции: Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, мы можем проанализировать производную функции. Производная функции y = x² - 4|x| + 4 будет зависеть от значения x. Мы можем найти точки экстремума, где производная равна нулю, и провести тесты знаков, чтобы определить промежутки возрастания и убывания.

Сначала найдем производную функции: y' = 2x - 4*sign(x)

Теперь найдем точки экстремума: 2x - 4*sign(x) = 0 2x = 4*sign(x) x = 2*sign(x)

Теперь проведем тесты знаков: Когда x < 0, производная y' = 2x + 4, что означает, что функция возрастает. Когда 0 < x < 2, производная y' = 2x - 4, что означает, что функция убывает. Когда x > 2, производная y' = 2x + 4, что означает, что функция возрастает.

Итак, промежутки возрастания функции будут от (-∞, 0) и (2, +∞), а промежутки убывания - от (0, 2).

Таким образом, мы построили график функции y = x² - 4|x| + 4 и определили область значений функции, а также промежутки возрастания и убывания.